九州大学 2015年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

数列 ${x_{n}}$ の第 $n$ 項を $x_{n} = r^{n - 1}$ で定める。このとき，正の実数 $x$ に対して定義された関数 $f (x) = x^{- α}$ を用いて，2つの数列 ${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ を，それぞれ $a_{n} = f (x_{n}) (x_{n + 1} - x_{n})$ と $b_{n} = f (x_{n + 1}) (x_{n + 1} - x_{n})$ で定める。ただし， $α$ は正の定数， $r$ は1より大きい実数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $α$ の値に応じて級数 $a (r) = n = 1 \sum \infty a_{n}$ の収束，発散を調べ，収束するときは和を求めよ。

(2) $α$ の値に応じて級数 $b (r) = n = 1 \sum \infty b_{n}$ の収束，発散を調べ，収束するときは和を求めよ。

(3) 極限 $r \to 1 + 0 lim a (r)$ と $r \to 1 + 0 lim b (r)$ のそれぞれについて，極限が有限な値である場合，その値を求めよ。

出典：九州大学 2015年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

各項をまず等比数列として明示する。 $x_{n} = r^{n - 1}$ なので、 $x_{n + 1} - x_{n} = (r - 1) r^{n - 1}$ であり、 $a_{n}$ , $b_{n}$ は公比 $r^{1 - α}$ の等比数列になる。収束条件は $r^{1 - α} < 1$ 、つまり $α > 1$ である。和を求めたあと、 $r \to 1 + 0$ では $r^{α - 1}$ の $r = 1$ における微分係数を用いて分母の極限を処理する。

解答

(1)

$x_{n} = r^{n - 1}$ であるから、 $x_{n + 1} = r^{n}$ であり、 $x_{n + 1} - x_{n} = r^{n} - r^{n - 1} = (r - 1) r^{n - 1}$ である。したがって

a_{n} = f (x_{n}) (x_{n + 1} - x_{n}) = (r^{n - 1})^{- α} (r - 1) r^{n - 1} = (r - 1) r^{(1 - α) (n - 1)}

である。

これは初項 $r - 1$ 、公比 $r^{1 - α}$ の等比級数である。 $r > 1$ なので、 $r^{1 - α} < 1$ となるのは $α > 1$ のときである。よって $α > 1$ のとき収束し、

a (r) = n = 1 \sum \infty (r - 1) r^{(1 - α) (n - 1)} = (r - 1) \frac{1}{1 - r ^{1 - α}}

である。すなわち $a (r) = \frac{r - 1}{1 - r ^{1 - α}} (α > 1)$ である。

一方、 $0 < α ≦ 1$ のときは $r^{1 - α} ≧ 1$ である。 $α = 1$ なら各項は $r - 1$ で0に近づかず、 $0 < α < 1$ なら項が大きくなる。したがってこの場合、級数は発散する。

(2)

同様に

b_{n} = f (x_{n + 1}) (x_{n + 1} - x_{n}) = (r^{n})^{- α} (r - 1) r^{n - 1} = (r - 1) r^{- α} r^{(1 - α) (n - 1)}

である。これも公比 $r^{1 - α}$ の等比級数である。

したがって $α > 1$ のとき収束し、 $b (r) = \frac{( r - 1 ) r ^{- α}}{1 - r ^{1 - α}} (α > 1)$ である。 $0 < α ≦ 1$ のときは (1) と同じ理由で発散する。

(3)

$0 < α ≦ 1$ では (1), (2) の級数が発散するので、有限な値としての $a (r), b (r)$ は得られない。以下、 $α > 1$ とする。

(1)で得た式を、 $r \to 1 + 0$ で扱いやすい形に直す。

1 - r^{1 - α} = 1 - \frac{1}{r ^{α - 1}} = \frac{r ^{α - 1} - 1}{r ^{α - 1}}

であるから

a (r) = \frac{r - 1}{1 - r ^{1 - α}} = \frac{r ^{α - 1} ( r - 1 )}{r ^{α - 1} - 1}

である。

関数 $g (r) = r^{α - 1}$ の $r = 1$ における微分係数は $g^{'} (1) = α - 1$ である。したがって $lim_{r \to 1 + 0} \frac{r ^{α - 1} - 1}{r - 1} = α - 1$ である。よって $lim_{r \to 1 + 0} a (r) = \frac{1}{α - 1}$ である。

また $b (r) = r^{- α} a (r)$ であり、 $r \to 1 + 0$ のとき $r^{- α} \to 1$ である。したがって $lim_{r \to 1 + 0} b (r) = \frac{1}{α - 1}$ である。

以上より、有限な極限値があるのは $α > 1$ のときで、その値は $r \to 1 + 0 lim a (r) = r \to 1 + 0 lim b (r) = \frac{1}{α - 1}$ である。

九州大学 2015年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2015年度
後期・理系数学後期第4問