九州大学 2014年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

円の中心 $O$ は、時刻 $t$ に $(art,r)$ にある。時刻0で点 $P$ は原点にあり、中心は $(0,r)$ なので、中心から見た $P$ の初期位置は $(0,-r)$ である。円は時計回りに角 $t$ だけ回転するから、この相対位置は $(-r\sin t,-r\cos t)$ になる。したがって $\boxed{x(t)=r(at-\sin t)},\boxed{y(t)=r(1-\cos t)}$ である。

(2)

まず $a=1$ の場合を考える。このとき $x(t)=r(t-\sin t),y(t)=r(1-\cos t)$ である。 $x^{\prime }(t)=r(1-\cos t)\geqq 0$ なので、$x(t)$ は $0\leqq t\leqq 2\pi$ で単調に増加する。したがって $\boxed{x_{\min }=0,x_{\max }=2\pi r}$ である。また $0\leqq 1-\cos t\leqq 2$ より $\boxed{y_{\min }=0,y_{\max }=2r}$ である。$y=0$ となるのは $t=0,2\pi$ のときであり、$x$ 軸との共有点の $x$ 座標は $\boxed{0,2\pi r}$ である。概形は通常のサイクロイド1弧で、$(0,0)$ から始まり、$(\pi r,2r)$ を通って $(2\pi r,0)$ に至る。

次に $a=1/2$ の場合を考える。このとき $x(t)=r\left(\frac{t}{2}-\sin t\right),y(t)=r(1-\cos t)$ である。 $x^{\prime }(t)=r\left(\frac{1}{2}-\cos t\right)$ だから、$x^{\prime }(t)=0$ となるのは $t=\frac{\pi }{3},t=\frac{5\pi }{3}$ である。増減を調べると、$t=\pi /3$ で最小、$t=5\pi /3$ で最大をとる。したがって $\boxed{x_{\min }=r\left(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ であり、$\boxed{x_{\max }=r\left(\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ である。また $y(t)=r(1-\cos t)$ は同じなので $\boxed{y_{\min }=0,y_{\max }=2r}$ である。$x$ 軸との共有点は $y=0$、すなわち $t=0,2\pi$ のときであり、その $x$ 座標は $\boxed{0,\pi r}$ である。概形は、$(0,0)$ からいったん左へ進んで $x$ の最小点を通り、その後上へふくらみ、右側で $x$ の最大点を通って $(\pi r,0)$ に戻る形である。

(3)

$a=1/2$ のとき、$C$ と $x$ 軸で囲まれる閉領域の面積を求める。$x$ 軸上の部分では $y=0$ なので、媒介変数表示の面積公式より $S=\left|{\int }_{C}ydx\right|=\left|{\int }_0^{2\pi }y(t)x^{\prime }(t)dt\right|$ である。ここで $y(t)=r(1-\cos t),x^{\prime }(t)=r\left(\frac{1}{2}-\cos t\right)$ だから

である。$0\leqq t\leqq 2\pi$ で ${\int }_0^{2\pi }\cos tdt=0,{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$ なので $S=r^2\left(\pi +\pi \right)=\boxed{2\pi r^2}$ である。