問題
を正の定数，関数，をそれぞれ，とする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) とのグラフがの範囲において交点を持つためのの範囲を求めよ。
(2) とおく。を最小にするの値を求めよ。
出典：九州大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
(1) は では なので、交点条件 を に割り戻せる。したがって の値域から を得る。(2) は の最小化である。 では は減少し、 では増加するため最小は にある。 を境に絶対値を外して微分し、左右の の面積が等しくなる条件を解く。
解答
(1)
で交点をもつ条件を考える。交点では である。ここで なので であり、両辺を で割って を得る。 のとき である。したがって交点をもつための条件は である。
(2)
である。
まず最小となる の位置を確認する。 では、 で だから であり、 を大きくすると値は小さくなる。したがってこの範囲の端では最小にならない。また では なので となり、 を大きくすると値は大きくなる。よって最小は で起こる。
そこで とおくと、 であり、 は で符号を変える。したがって である。 を少し変えたときの増減を考えると、 の係数として現れる部分は、左側では正、右側では負である。したがって最小となるための条件は である。これを計算すると であり、 である。 だから である。よって となり、求める値は である。