九州大学 2014年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

行列 $A = \frac{1}{4} (5335)$ ， $B = (20 0 \frac{1}{2})$ について以下の問いに答えよ。

(1) $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を実数とする。行列 $T = (a c b d)$ が $A T = T B$ かつ $a d - b c = 1$ を満たすとき， $b$ ， $c$ ， $d$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ。

(2) $x y$ 平面内の点 $P_{n} (α_{n}, β_{n})$ を

(α_{n} β_{n}) = A (α_{n - 1} β_{n - 1}), n = 1, 2, 3, \dots

で定める。ただし， $α_{0} = 1$ ， $β_{0} = 0$ とする。このとき $α_{n}$ および $β_{n}$ を求めよ。また，点 $P_{n}$ を通り， $y = x$ で与えられる直線 $l$ と直交する直線 $m$ の方程式を求めよ。

(3) 直線 $l$ と直線 $m$ の交点を $Q_{n}$ とし， $P_{n}$ と $Q_{n}$ の距離を $d_{n}$ とする。このとき $n \to \infty lim d_{n}$ を求めよ。

出典：九州大学 2014年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) は $A T = T B$ を成分比較し、 $c = a$ 、 $d = - b$ まで出してから $a d - b c = 1$ で $b, d$ を決める。(2) は $α_{n} + β_{n}$ と $α_{n} - β_{n}$ を考えると、行列 $A$ による変化がそれぞれ2倍、 $1/2$ 倍になることを使う。これにより $α_{n}, β_{n}$ を明示し、直線 $m$ は傾き $- 1$ で $P_{n}$ を通る直線として求める。(3) は $l : y = x$ と $m$ の交点を出し、2点間距離の極限を取る。

解答

(1)

T = (a c b d)

とする。まず

A T = \frac{1}{4} (5335) (a c b d) = \frac{1}{4} (5 a + 3 c 3 a + 5 c 5 b + 3 d 3 b + 5 d)

である。一方

T B = (a c b d) (20 0 1/2) = (2 a 2 c b /2 d /2)

である。 $A T = T B$ より成分を比較すると $5 a + 3 c = 8 a, 5 b + 3 d = 2 b,$ $3 a + 5 c = 8 c, 3 b + 5 d = 2 d$ である。これらから $c = a, d = - b$ を得る。さらに $a d - b c = 1$ に $c = a, d = - b$ を代入すると $a (- b) - ba = - 2 ab = 1$ である。したがって $a \neq = 0$ であり、 $b = - \frac{1}{2 a}, c = a, d = \frac{1}{2 a}$ である。よって $b = - \frac{1}{2 a}, c = a, d = \frac{1}{2 a}$ である。

(2)

(α_{n} β_{n}) = \frac{1}{4} (5335) (α_{n - 1} β_{n - 1})

より

α_{n} = \frac{5 α _{n - 1} + 3 β _{n - 1}}{4}, β_{n} = \frac{3 α _{n - 1} + 5 β _{n - 1}}{4}

である。和と差を取ると $α_{n} + β_{n} = 2 (α_{n - 1} + β_{n - 1})$ であり、 $α_{n} - β_{n} = \frac{1}{2} (α_{n - 1} - β_{n - 1})$ である。初期値 $α_{0} = 1, β_{0} = 0$ から $α_{0} + β_{0} = 1, α_{0} - β_{0} = 1$ なので $α_{n} + β_{n} = 2^{n}, α_{n} - β_{n} = 2^{- n}$ である。したがって

α_{n} = \frac{2 ^{n} + 2 ^{- n}}{2}, β_{n} = \frac{2 ^{n} - 2 ^{- n}}{2}

である。

直線 $l : y = x$ と直交する直線は傾き $- 1$ である。点 $P_{n} (α_{n}, β_{n})$ を通るので $y - β_{n} = - (x - α_{n})$ すなわち $x + y = α_{n} + β_{n} = 2^{n}$ である。よって $m : x + y = 2^{n}$ である。

(3)

直線 $l : y = x$ と $m : x + y = 2^{n}$ の交点 $Q_{n}$ は $Q_{n} = (2^{n - 1}, 2^{n - 1})$ である。したがって

Q_{n} P_{n} = (\frac{2 ^{n} + 2 ^{- n}}{2} - 2^{n - 1}, \frac{2 ^{n} - 2 ^{- n}}{2} - 2^{n - 1}) = (2^{- n - 1}, - 2^{- n - 1})

である。よって $d_{n} = (2^{- n - 1})^{2} + (- 2^{- n - 1})^{2} = \frac{2 ^{- n}}{2}$ である。したがって $n \to \infty lim d_{n} = 0$ である。

九州大学 2014年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2014年度
後期・理系数学後期第1問