問題
箱の中に，赤玉が5個，青玉が4個，白玉が3個入っている。それぞれの玉の大きさは同じで，1個あたりの重さは，赤玉が100g，青玉が45g，白玉が30gである。このとき以下の問いに答えよ。ただし，取り出した玉は重さを量ったあとで，箱の中にもどすものとする。
(1) 無作為に箱から玉を1個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする。このとき袋の中身の重さが40g以上であるという条件のもとで，袋の中身が赤玉である確率を求めよ。
(2) 無作為に箱から玉を2個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする。このとき袋の中身の重さが100g以上であるという条件のもとで，袋の中身が2個とも赤玉である確率を求めよ。
(3) 無作為に箱から玉を3個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする。このとき袋の中身の重さが150g以上であるという条件のもとで，袋の中身が3個とも赤玉である確率を求めよ。
方針
条件付き確率なので、各問で「条件を満たす取り出し方の数」を分母、「その中で全て赤玉である取り出し方の数」を分子にする。取り出した玉は重さを量ったあとに戻すので、2個・3個は同時に取り出すものとして、組合せで数える。(1) は40g以上が赤または青、(2) は2個で100g以上となる組合せを色の組で分類する。(3) は3個で150g以上となる組合せを赤玉の個数ごとに分類する。
解答
(1)
1個取り出したとき、重さが40g以上であるのは赤玉100gまたは青玉45gの場合である。白玉30gは条件を満たさない。したがって条件を満たす玉は 個であり、そのうち赤玉は5個である。よって求める条件付き確率は である。
(2)
2個を同時に取り出す。重さが100g以上となる色の組を数える。
赤赤は g で条件を満たし、場合の数は である。赤青は g で条件を満たし、場合の数は である。赤白は g で条件を満たし、場合の数は である。一方、青青は90g、青白は75g、白白は60gで、いずれも100g以上ではない。
したがって、条件を満たす取り出し方は 通りであり、そのうち2個とも赤玉である場合は10通りである。よって である。
(3)
3個を同時に取り出す。重さが150g以上となる場合を、赤玉の個数で分ける。
赤玉が3個のときは必ず条件を満たし、場合の数は である。赤玉が2個のときも、残り1個が青でも白でも重さは150g以上である。場合の数は
である。
赤玉が1個のとき、残り2個が青青、青白、白白のいずれでも となり、すべて150g以上である。場合の数は
である。
赤玉が0個のとき、最大でも青青青で g なので条件を満たさない。したがって、条件を満たす取り出し方は 通りである。そのうち3個とも赤玉である場合は10通りだから、求める確率は である。