九州大学 2013年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y$ 平面上の曲線 $y = e^{- x} ∣ sin x ∣$ $(x ≧ 0)$ を $C$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対し， $(n - 1) π ≦ x ≦ nπ$ の範囲で $y$ が最大となる曲線 $C$ 上の点を $P_{n}$ とする。このとき，点 $P_{n}$ の座標を求めよ。

(2) 点 $P_{n}$ から $x$ 軸に下ろした垂線を $P_{n} H_{n}$ とし，三角形 $O P_{n} H_{n}$ の面積を $S_{n}$ とするとき，無限級数 $n = 1 \sum \infty S_{n}$ の和を求めよ。

(3) 曲線 $C$ と線分 $O P_{1}$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

出典：九州大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

各区間 $[(n - 1) π, nπ]$ では、絶対値を外すと $e^{- x} sin (x - (n - 1) π)$ の最大問題になる。置換 $u = x - (n - 1) π$ により、定数倍を除いて $e^{- u} sin u$ を最大化し、 $u = π /4$ を得る。(2)は $S_{n} = \frac{1}{2} x_{n} y_{n}$ を等比級数とその微分型の和で計算する。(3)は $0 ≦ x ≦ π /4$ で、曲線と線分 $O P_{1}$ の上下差を $x$ 軸まわりの回転体積として積分する。

解答

(1)

$(n - 1) π ≦ x ≦ nπ$ で $u = x - (n - 1) π$ とおくと、 $0 ≦ u ≦ π$ であり、 $∣ sin x ∣ = sin u$ である。したがって $y = e^{- (n - 1) π} e^{- u} sin u$ である。定数倍を除いて $g (u) = e^{- u} sin u$ を最大化すればよい。

微分すると $g^{'} (u) = e^{- u} (cos u - sin u)$ である。 $0 < u < π$ で最大となるのは $cos u = sin u$ すなわち $u = \frac{π}{4}$ のときである。よって

P_{n} = ((n - 1) π + \frac{π}{4}, \frac{1}{2} e^{- (n - 1) π - π /4})

である。

(2)

点 $P_{n}$ の座標を $(X_{n}, Y_{n})$ とすると $S_{n} = \frac{1}{2} X_{n} Y_{n}$ である。したがって

S_{n} = \frac{1}{2 2} ((n - 1) π + \frac{π}{4}) e^{- (n - 1) π - π /4}

である。 $r = e^{- π}$ とおくと

n = 1 \sum \infty S_{n} = \frac{π e ^{- π /4}}{2 2} m = 0 \sum \infty (m + \frac{1}{4}) r^{m}

である。ここで

m = 0 \sum \infty r^{m} = \frac{1}{1 - r}, m = 0 \sum \infty m r^{m} = \frac{r}{( 1 - r ) ^{2}}

だから

n = 1 \sum \infty S_{n} = \frac{π e ^{- π /4}}{2 2} {\frac{e ^{- π}}{( 1 - e ^{- π} ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( 1 - e ^{- π} )}}

である。

(3)

$P_{1}$ は $P_{1} = (\frac{π}{4}, \frac{e ^{- π /4}}{2})$ である。したがって線分 $O P_{1}$ の方程式は $y = \frac{4 e ^{- π /4}}{π 2} x$ である。 $0 ≦ x ≦ π /4$ では $sin x ≧ 0$ なので曲線は $y = e^{- x} sin x$ である。

求める回転体の体積を $V$ とすると、外側半径が $e^{- x} sin x$ 、内側半径が線分の $y$ 座標であるから

V = π \int_{0}^{π /4} {e^{- 2 x} sin^{2} x - (\frac{4 e ^{- π /4}}{π 2} x)^{2}} d x

である。

ここで $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ を用いて積分し、線分側は $\int_{0}^{π /4} x^{2} d x$ を計算すればよい。整理すると $V = \frac{π e ^{- π /2}}{24} (3 e^{π /2} - π - 9)$ である。

九州大学 2013年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2013年度
後期・理系数学後期第5問