九州大学 2013年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$α$ を $0 ≦ α ≦ \frac{π}{2}$ を満たす実数とし，数列 ${θ_{n}}$ を次式により定める。

θ_{1} = 0, θ_{n + 1} = ⎩ ⎨ ⎧ θ_{n} + α θ_{n} - α (θ_{n} ≦ \frac{π}{2} のとき) (θ_{n} > \frac{π}{2} のとき) (n = 1, 2, 3, \dots)

さらに数列 ${x_{n}}$ を次式により定める。

x_{1} = 0, x_{n + 1} = x_{n} + (\frac{1}{2})^{n - 1} sin θ_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $x_{3}$ が最大となる $α$ を求めよ。

(2) $α = \frac{π}{4}$ のとき，極限値 $n \to \infty lim x_{n}$ を求めよ。

(3) 極限値 $n \to \infty lim x_{n}$ が最大となる $α$ と，その極限値を求めよ。

出典：九州大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

最初に $x_{3} = sin α + \frac{1}{2} sin 2 α$ を直接求めて微分する。(2)は $α = π /4$ のときの $θ_{n}$ の周期を調べ、重み $1, 1/2, 1/4, \dots$ の等比級数として和を出す。(3)は $α > π /4$ では $θ$ が $α, 2 α$ を交互に繰り返すことから極限値を明示し、その最大を求める。 $0 ≦ α ≦ π /4$ では粗い上界で $3$ に届かないことを示す。

解答

(1)

$θ_{1} = 0$ であり、 $0 ≦ α ≦ π /2$ だから $θ_{2} = α, θ_{3} = 2 α$ である。したがって $x_{3} = sin α + \frac{1}{2} sin 2 α$ である。これを $f (α)$ とおくと $f^{'} (α) = cos α + cos 2 α$ である。 $0 ≦ α ≦ π /2$ で $cos α + cos 2 α = 0$ を解くと $2 cos^{2} α + cos α - 1 = 0$ より $cos α = \frac{1}{2}$ である。したがって $α = \frac{π}{3}$ である。端点では $f (0) = 0$ 、 $f (π /2) = 1$ であり、 $f (π /3) = 3 /2 + 3 /4 = 33 /4$ なので、最大となるのは $α = \frac{π}{3}$ である。

(2)

$α = π /4$ のとき

θ_{2} = \frac{π}{4}, θ_{3} = \frac{π}{2}, θ_{4} = \frac{3 π}{4}, θ_{5} = \frac{π}{2}

となり、その後は $\frac{3 π}{4}, \frac{π}{2}$ を繰り返す。したがって

sin θ_{2} = \frac{2}{2}, sin θ_{3} = 1, sin θ_{n} = 1, \frac{2}{2}, 1, \frac{2}{2}, \dots (n ≧ 3)

である。よって

n \to \infty lim x_{n} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + m = 0 \sum \infty {\frac{1}{2 ^{2 m + 2}} \frac{2}{2} + \frac{1}{2 ^{2 m + 3}} \cdot 1}

である。等比級数を計算すると

\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1/4}{1 - 1/4} + \frac{1/8}{1 - 1/4} = \frac{2 ( 2 + 1 )}{3}

である。

(3)

まず $π /4 < α ≦ π /2$ の場合を考える。このとき $θ_{2} = α > 0, θ_{3} = 2 α > \frac{π}{2}$ であり、その後は $α, 2 α$ を交互に繰り返す。したがって極限値を $X (α)$ とすると

X (α) = sin α + \frac{1}{2} sin 2 α + \frac{1}{4} sin α + \frac{1}{8} sin 2 α + \dots

$= \frac{4}{3} sin α + \frac{2}{3} sin 2 α$ である。微分すると $X^{'} (α) = \frac{4}{3} (cos α + cos 2 α)$ であり、(1)と同じく $α = π /3$ で最大となる。このとき

X (\frac{π}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 3

である。

次に $0 ≦ α ≦ π /4$ の場合を考える。この範囲では $sin θ_{2} = sin α ≦ \frac{2}{2}$ であり、それ以後の各 $sin θ_{n}$ は高々1である。したがって

X (α) ≦ \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots) = 1 + \frac{2}{2}

である。ここで $1 + \frac{2}{2} < 3$ なので、この範囲では $3$ には達しない。

以上より、極限値が最大となるのは $α = \frac{π}{3}$ であり、その最大値は $3$ である。

九州大学 2013年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2013年度
後期・理系数学後期第4問