九州大学 2013年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ を次式により定める。

(a_{1} b_{1}) = (20), (a_{n + 1} b_{n + 1}) = (3243) (a_{n} b_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots)

このとき，以下の問いに答えよ。

(1) すべての $n$ に対して， $x y$ 平面上の点 $(a_{n}, b_{n})$ が双曲線 $x^{2} - 2 y^{2} = 4$ の上にあることを証明せよ。

(2) $r$ ， $s$ ， $t$ は正の実数とし，行列 $A = (r 1 - r 1)$ が次の関係式を満たすとする。

A^{- 1} (3243) A = (s 0 0 t)

このとき， $r$ ， $s$ ， $t$ を求めよ。

(3) 数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：九州大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

まず漸化式を成分で書き、 $a_{n + 1}^{2} - 2 b_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2}$ を直接展開で示す。(2)は指定された形の行列 $A$ の列ベクトルを使って、 $3, 4; 2, 3$ がそれぞれ何倍になるかを調べると $r, s, t$ が決まる。(3)は $a_{n} + 2 b_{n}$ と $a_{n} - 2 b_{n}$ がそれぞれ一定倍されることを使い、連立して $a_{n}, b_{n}$ を取り出す。

解答

(1)

漸化式を成分で書くと $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 b_{n}, b_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n}$ である。したがって $a_{n + 1}^{2} - 2 b_{n + 1}^{2} = (3 a_{n} + 4 b_{n})^{2} - 2 (2 a_{n} + 3 b_{n})^{2}$ $= 9 a_{n}^{2} + 24 a_{n} b_{n} + 16 b_{n}^{2} - 8 a_{n}^{2} - 24 a_{n} b_{n} - 18 b_{n}^{2} = a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2}$ である。初期値は $a_{1} = 2, b_{1} = 0$ だから $a_{1}^{2} - 2 b_{1}^{2} = 4$ である。よって帰納的に、すべての $n$ で $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 4$ が成り立ち、点 $(a_{n}, b_{n})$ は双曲線 $x^{2} - 2 y^{2} = 4$ 上にある。

(2)

$A$ の2つの列ベクトルは

(r 1), (- r 1)

である。行列

M = (3243)

について、関係式は

M (r 1) = s (r 1), M (- r 1) = t (- r 1)

を意味する。

1つ目から

(3 r + 4 2 r + 3) = (sr s)

である。したがって $s = 2 r + 3, 3 r + 4 = r s$ であり、代入して $3 r + 4 = r (2 r + 3)$ すなわち $r^{2} = 2$ を得る。 $r > 0$ より $r = 2$ である。よって $s = 3 + 22$ である。同様に2つ目から $t = 3 - 22$ を得る。

(3)

(2)の計算は、量 $a_{n} + 2 b_{n}, a_{n} - 2 b_{n}$ がそれぞれ一定倍されることを表している。実際、漸化式から $a_{n + 1} + 2 b_{n + 1} = (3 + 22) (a_{n} + 2 b_{n})$ であり、 $a_{n + 1} - 2 b_{n + 1} = (3 - 22) (a_{n} - 2 b_{n})$ である。初期値より $a_{1} + 2 b_{1} = 2, a_{1} - 2 b_{1} = 2$ だから $a_{n} + 2 b_{n} = 2 (3 + 22)^{n - 1}$ $a_{n} - 2 b_{n} = 2 (3 - 22)^{n - 1}$ である。2式を足し引きして $a_{n} = (3 + 22)^{n - 1} + (3 - 22)^{n - 1}$ $b_{n} = \frac{( 3 + 2 2 ) ^{n - 1} - ( 3 - 2 2 ) ^{n - 1}}{2}$ を得る。

九州大学 2013年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2013年度
後期・理系数学後期第3問