問題
を原点とする空間内の点，，の座標をそれぞれ，，とする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 点，，，が正四面体の頂点となるとき，点の座標を求めよ。ただし，点の座標は正とする。
(2) (1)で定めた点に対して，線分をに内分する点を，線分をに内分する点をとする。このとき，三角形の面積を求めよ。
(3) (2)で定めた点，に対して，点，，を通る平面が，点，，以外で正四面体の辺と交わる点の座標を求めよ。
方針
三角形 が一辺3の正三角形であることを確認し、正四面体の第4頂点 は底面の重心の真上にあると考える。正四面体の高さは、辺長3と底面正三角形の外接円半径 から求める。(2)は内分点 の座標を出し、内積から 、、 を求め、 で面積を計算する。(3)は平面 と各辺の交点を調べ、既知の 以外の交点を求める。
解答
(1)
与えられた3点について であるから、 は一辺3の正三角形である。その重心を とすると である。
正四面体では、点 は底面の重心 を通り底面に垂直な直線上にある。正三角形の外接円半径は であり、正四面体の辺長は3だから、高さ は を満たす。 の 座標は正なので である。
(2)
は を に内分するので
である。また は を に内分するので である。 は原点なので、 の面積は内積を使って求められる。まず であり、さらに
である。したがって
である。
(3)
平面 は、辺 と点 で交わり、辺 と点 で交わり、辺 と点 で交わっている。残る交点は辺 上に現れる。
辺 上の点を とおく。座標で書くと である。 が平面 上にある条件は、 が の一次結合で表されることである。これを座標で比べると を得る。したがって である。
よって、点 以外で正四面体の辺と交わる点は である。