九州大学 2012年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を次式で定義する。

a_{n} = \int_{c}^{1} n x^{n - 1} (lo g (\frac{1}{x}))^{n} d x (n = 1, 2, 3, \dots)

ただし， $c$ は $0 < c < 1$ を満たす定数とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) 数列 ${a_{n}}$ の初項 $a_{1}$ および第2項 $a_{2}$ を求めよ。

(2) $0 < x ≦ 1$ のとき， $0 ≦ x lo g (\frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ が成り立つことを示せ。

(3) $a_{n} < \frac{n}{2 ^{n}} lo g (\frac{1}{c})$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ が成り立つことを示せ。

(4) $n \to \infty lim a_{n} = 0$ を示せ。

出典：九州大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1) は $n = 1, 2$ を直接代入し、部分積分で計算する。(2) は $ϕ (x) = x lo g (1/ x)$ の増減を調べ、最大値が $x = 1/ e$ で $1/ e < 1/2$ であることを使う。(3) は integrand を $\frac{n}{x} {x lo g (1/ x)}^{n}$ と見て、(2) の上界で評価する。(4) は (3) と $n / 2^{n} \to 0$ からはさみうちで示す。

解答

(1)

$n = 1$ のとき $a_{1} = \int_{c}^{1} lo g (\frac{1}{x}) d x = \int_{c}^{1} (- lo g x) d x$ である。原始関数は $- x lo g x + x$ だから $a_{1} = [- x lo g x + x]_{c}^{1} = 1 - (- c lo g c + c) = 1 - c + c lo g c$ である。

$n = 2$ のとき $a_{2} = \int_{c}^{1} 2 x (lo g \frac{1}{x})^{2} d x = \int_{c}^{1} 2 x (lo g x)^{2} d x$ である。ここで

\frac{d}{d x} {x^{2} ((lo g x)^{2} - lo g x + \frac{1}{2})} = 2 x (lo g x)^{2}

であるから、 $a_{2} = [x^{2} ((lo g x)^{2} - lo g x + \frac{1}{2})]_{c}^{1}$ となる。よって $a_{2} = \frac{1}{2} - c^{2} {(lo g c)^{2} - lo g c + \frac{1}{2}}$ である。

(2)

$ϕ (x) = x lo g (\frac{1}{x})$ とおく。 $0 < x ≦ 1$ では $lo g (1/ x) ≧ 0$ なので $ϕ (x) ≧ 0$ である。

また $ϕ^{'} (x) = lo g (\frac{1}{x}) - 1$ であるから、 $ϕ^{'} (x) = 0$ となるのは $lo g (\frac{1}{x}) = 1$ すなわち $x = \frac{1}{e}$ のときである。 $0 < x < 1/ e$ では $ϕ^{'} (x) > 0$ 、 $1/ e < x ≦ 1$ では $ϕ^{'} (x) < 0$ なので、最大値は $ϕ (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$ である。 $e > 2$ より $\frac{1}{e} < \frac{1}{2}$ だから $0 ≦ x lo g (\frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ が成り立つ。

(3)

積分の中身を

n x^{n - 1} (lo g \frac{1}{x})^{n} = \frac{n}{x} {x lo g (\frac{1}{x})}^{n}

と書き直す。 $c ≦ x ≦ 1$ では $x > 0$ であり、(2)より $0 ≦ x lo g (\frac{1}{x}) < \frac{1}{2}$ である。したがって $0 ≦ {x lo g (\frac{1}{x})}^{n} < \frac{1}{2 ^{n}}$ である。

よって

a_{n} = \int_{c}^{1} \frac{n}{x} {x lo g (\frac{1}{x})}^{n} d x < \int_{c}^{1} \frac{n}{2 ^{n} x} d x

となる。右辺は

\frac{n}{2 ^{n}} [lo g x]_{c}^{1} = \frac{n}{2 ^{n}} lo g (\frac{1}{c})

である。したがって $a_{n} < \frac{n}{2 ^{n}} lo g (\frac{1}{c})$ が成り立つ。

(4)

定義より $a_{n} ≧ 0$ であり、(3)より $0 ≦ a_{n} < \frac{n}{2 ^{n}} lo g (\frac{1}{c})$ である。ここで $c$ は固定された正の定数なので、 $lo g (1/ c)$ は定数である。また $\frac{n}{2 ^{n}} \to 0 (n \to \infty)$ である。したがって、はさみうちにより $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ である。

九州大学 2012年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2012年度
後期・理系数学後期第4問