問題
2個のサイコロを投げて，平面上の点を移動させる次の試行を考える。
試行：2個のサイコロを同時に投げて，大きい目の数を，小さい目の数をとする。ただし，同じ目が出た場合は，，の両者をその目の数とする。このとき，
が3以上なら，点を軸の正の方向に1動かし，
が3以上なら，点をさらに軸の正の方向に1動かす。
この試行を繰り返して点を原点から順に動かしていくとき，以下の問いに答えよ。
(1) 1回目の試行終了時に点がに移動している確率を求めよ。
(2) 2回目の試行終了時に点がに移動している確率を求めよ。
(3) 回目の試行終了時に点がに移動している確率を求めよ。ただし，は自然数である。
方針
1回の試行で点Pが動く量は 、、 の3種類だけである。それぞれの確率をサイコロ36通りから数える。(1)(2) はその確率を直接使う。(3) では 回後に 座標が であるため、毎回 方向へ進まなければならない。そのうえで 座標が になるには、ちょうど1回だけ 、残り 回が であればよい。
解答
1回の試行で起こる移動を先に分類する。
2個のサイコロの目を区別して36通りで数える。両方の目が1または2であれば かつ なので、点Pは動かない。この確率は である。
一方、一方の目が1または2、もう一方の目が3以上であれば、 だが なので、移動は である。この場合は 通りあるから、確率は である。
最後に、両方の目が3以上であれば、 かつ なので、移動は である。この確率は である。
したがって1回の移動は のいずれかであり、それぞれの確率は である。
(1)
1回目の終了時に点Pが にあるのは、1回の移動が である場合である。よって求める確率は である。
(2)
2回目の終了時に点Pが にあるには、2回の移動の合計が になればよい。可能なのは またはその順序を入れ替えた場合だけである。 を使うと 座標が増えないので、2回で にはならない。
したがって求める確率は である。
(3)
回目の試行終了時に点Pが にあるとする。 座標が であるためには、 回すべての試行で 方向に1進まなければならない。したがって各回の移動は または である。
そのうえで 座標が になるには、 回のうち 回が 、残り1回が でなければならない。 となる回の選び方は 通りである。
各回の確率はどちらも なので、求める確率は である。