九州大学 2012年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ のとき， $sin x - x ≦ 0$ が成り立つことを示せ。

(2) $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ のとき， $sin x - x + a x^{3} ≧ 0$ が成り立つような正の数 $a$ を1つ定めよ。

(3) $0 < ∣ x ∣ ≦ \frac{π}{2}$ のとき，

\frac{sin x}{x} - 1 ≦ a x^{2}

が成り立つことを示せ。ただし， $a$ は(2)で定めた値とする。

(4) 曲線 $y = sin x$ と直線 $y = x$ および $x = \frac{π}{2}$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

出典：九州大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) は $x - sin x$ の単調性で示す。(2) は具体的に $a = 1/6$ と取り、 $h (x) = sin x - x + x^{3} /6$ の二階微分が (1) の非負関数になることを使う。(3) は (1)(2) から $0 ≦ x - sin x ≦ x^{3} /6$ を得て、 $x > 0$ で割ったあと、 $sin x / x$ が偶関数であることにより負の $x$ へ広げる。(4) は $0 ≦ x ≦ π /2$ で $x ≧ sin x$ だから、外半径 $x$ 、内半径 $sin x$ のワッシャーとして積分する。

解答

(1)

$g (x) = x - sin x$ とおく。すると $g^{'} (x) = 1 - cos x$ である。 $0 ≦ x ≦ π /2$ では $cos x ≦ 1$ だから $g^{'} (x) ≧ 0$ である。また $g (0) = 0$ である。したがって $g (x) ≧ 0$ 、すなわち $sin x - x ≦ 0$ が成り立つ。

(2)

たとえば $a = \frac{1}{6}$ と定める。このとき $h (x) = sin x - x + \frac{x ^{3}}{6}$ とおくと、 $h^{'} (x) = cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2}, h^{''} (x) = - sin x + x$ である。(1)より $x - sin x ≧ 0$ だから $h^{''} (x) ≧ 0$ である。また $h^{'} (0) = 0$ なので、 $h^{'} (x)$ は $0 ≦ x ≦ π /2$ で0以上である。さらに $h (0) = 0$ だから、 $h (x) ≧ 0$ である。よって $sin x - x + \frac{x ^{3}}{6} ≧ 0$ が成り立つ。したがって条件をみたす正の数として $a = \frac{1}{6}$ を取ればよい。

(3)

まず $0 < x ≦ π /2$ とする。(1)(2)より $sin x - x ≦ 0, sin x - x + \frac{x ^{3}}{6} ≧ 0$ であるから $0 ≦ x - sin x ≦ \frac{x ^{3}}{6}$ である。これを正の $x$ で割ると $0 ≦ 1 - \frac{s i n x}{x} ≦ \frac{x ^{2}}{6}$ となる。したがって $\frac{s i n x}{x} - 1 ≦ \frac{x ^{2}}{6}$ である。

次に $- π /2 ≦ x < 0$ のときを考える。関数 $sin x / x$ は偶関数であるから、 $y = - x > 0$ とおけば

\frac{sin x}{x} - 1 = \frac{sin y}{y} - 1 ≦ \frac{y ^{2}}{6} = \frac{x ^{2}}{6}

である。よって、(2)で定めた $a = 1/6$ に対して $\frac{s i n x}{x} - 1 ≦ a x^{2}$ が成り立つ。

(4)

(1)より、 $0 ≦ x ≦ π /2$ では $x ≧ sin x$ である。したがって、曲線 $y = sin x$ 、直線 $y = x$ 、直線 $x = π /2$ で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転すると、断面は外半径 $x$ 、内半径 $sin x$ のワッシャーになる。

よって体積 $V$ は $V = π \int_{0}^{π /2} (x^{2} - sin^{2} x) d x$ である。ここで

\int_{0}^{π /2} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{π /2} = \frac{π ^{3}}{24}

であり、 $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ より

\int_{0}^{π /2} sin^{2} x d x = [\frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{π /2} = \frac{π}{4}

である。したがって

V = π (\frac{π ^{3}}{24} - \frac{π}{4}) = \frac{π ^{2} ( π ^{2} - 6 )}{24}

である。

九州大学 2012年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2012年度
後期・理系数学後期第1問