問題
を原点とする座標空間において，3点，，が定める平面をとする。ただし，は正の定数とする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 平面上の任意の点に対し，を満たす実数，が存在する。点の座標を，，を用いて表せ。
(2) 原点から平面に垂線を下ろす。点の座標をを用いて表せ。
(3) とする。平面上で点を中心とする半径1の円を考え，その円周上に点をとなるように取る。ただし，とし，点の座標は正とする。点の座標をを用いて表せ。
出典：九州大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1) は 、 を成分で書き、 を計算する。(2) は平面の方程式 を使い、原点からの垂線の足が法線方向にあることから1変数で求める。(3) では の平面内で、 方向の単位ベクトルと、それに垂直で 成分が正の単位ベクトルを作り、点Aから半径1だけ 、 の成分で進む。
解答
(1)
である。したがって
である。
点Cの座標は だから、点Pの座標は である。
(2)
平面 は、3点 、、 を通るので と表される。この平面の法線方向は である。
原点Oから平面 に下ろした垂線の足Hは、この法線方向上にあるから とおける。Hが平面上にあることから すなわち である。よって である。
したがって である。
(3)
とする。このとき であり、平面 は である。
まず、AからBへ向かう単位ベクトルは
である。次に、平面 上で に垂直で、 成分が正の単位ベクトルを と取る。実際に であり、さらに は の方向ベクトルなので平面 に平行である。
点QはAを中心とする半径1の円周上にあり、 で、 座標が正である。したがって と表される。よって
である。
したがって点Qの座標は
である。 なので であり、確かに 座標は正である。