問題
1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。その4枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える。
操作： 1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り出す。球に書かれた数字がとならば，のカードとのカードを入れかえる。その後，2個の球は袋に戻す。
初めにカードを左から順にと並べ，上の操作を回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ。
(1) のとき，カードが左から順にと並ぶ確率を求めよ。
(2) のとき，カードが左から順にと並ぶ確率を求めよ。
(3) のとき，左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。
(4) のとき，左端のカードの数字の期待値を求めよ。
方針
(1)(2)は2回の交換を順序付きで数える。(3)はカード1の位置だけを追い、同じ位置に残る確率と指定位置へ移る確率を使う。(4)は3回後なので、1枚のカードの位置遷移を4状態の対称な遷移として扱い、元の位置にある確率と指定した別位置にある確率を求める。その確率を左端の数字の期待値に代入する。
解答
(1)
1回の操作で交換する2枚の選び方は 通りである。2回の操作は順序付きで 通りある。
2回後に元の並び に戻るには、2回とも同じ2枚を交換すればよい。1回目の選び方は6通りで、それぞれ2回目は同じ組に限られるから、有利な場合は6通りである。よって である。
(2)
並び にするには、カード1と4を交換し、カード2と3を交換する必要がある。2回の操作でこれを行うには、交換 と交換 を1回ずつ行えばよい。順序は2通りなので、確率は である。
(3)
カード1の位置だけを見る。1回の操作でカード1が同じ位置に残るには、交換する2枚にカード1が含まれなければよい。その確率は である。また、指定した別の位置へ移るには、その位置にあるカードとカード1を交換する必要があるので、確率は である。
2回後に左端にある確率は、左端に残り続ける場合と、他の3位置のいずれかへ移ってから戻る場合を足せばよい。したがって である。
(4)
1枚のカードについて、 回後に元の位置にある確率を とする。元の位置にいるためには、直前にも元の位置にいて動かないか、直前に他の位置にいて元の位置へ移るかである。対称性により、元の位置以外の各位置にいる確率は である。よって
である。
この漸化式の定常値は であり、 だから である。また、指定した別の位置にある確率は、対称性より である。 のとき、カード1が左端にある確率は である。カード2,3,4が左端にある確率はそれぞれ である。したがって左端のカードの数字の期待値は
である。