問題
を正の定数とする。以下の問いに答えよ。
(1) 関数の極大値および極小値を求めよ。
(2) のとき，不等式が成り立つことを示せ。さらに，極限値を求めよ。
(3) を定数とする。のグラフとのグラフが異なる3点で交わるための必要十分条件を，とを用いて表せ。
出典：九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1)は微分して を出し、 を境に増減を読む。(2)は の単調性で最大値を示し、極限は が多項式より速く大きくなることを具体的不等式で押さえる。(3)は交点条件を に変換し、 の極小値・極大値・右端の極限 を使って、3つの単調区間それぞれに1つずつ解がある条件を作る。
解答
(1)
である。積の微分を用いると
である。 なので、 の符号は の符号で決まる。したがって
である。よって で極小、 で極大となる。
値は であり、 である。したがって極小値は で、極大値は である。
(2)
とおく。微分すると である。 では なので である。したがって は で減少し、 が成り立つ。
次に極限を求める。指数関数の展開の正の項だけを用いれば、 で である。したがって である。 で だから、はさみうちにより である。
(3)
2つのグラフの交点は を満たす に対応する。これを変形すると すなわち である。
(1)より は で減少、 で増加、 で減少する。また である。さらに では である。
したがって、3つの異なる交点をもつには、水平線 が3つの単調区間でそれぞれ1回ずつグラフを横切る必要がある。左と中央の2区間で交わるためには が必要である。さらに右側の区間 では、 は極大値 から0へ減少するので、ここで交わるためには が必要である。
以上を合わせると、必要十分条件は である。