九州大学 2011年度理系数学第3問解答・解説

問題

数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ は

a_{n + 1} = \frac{2 a _{n}}{1 - a _{n} ^{2}} n = 1, 2, 3, \dots

をみたしているとする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $a_{1} = \frac{1}{3}$ とするとき，一般項 $a_{n}$ を求めよ。

(2) $tan \frac{π}{12}$ の値を求めよ。

(3) $a_{1} = tan \frac{π}{20}$ とするとき，

a_{n + k} = a_{n} n = 3, 4, 5, \dots

をみたす最小の自然数 $k$ を求めよ。

出典：九州大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

正接の倍角公式で $a_{n} = tan (2^{n - 1} θ)$ と表す。(1)では $θ = π /6$ として、正接の周期 $π$ から偶奇で値を整理する。(2)は倍角公式を逆向きに使う。(3)では $n ≧ 3$ のため角度の分母から2の因子が十分に消えており、条件は $2^{k} \equiv 1 (mod 5)$ に帰着する。

解答

(1)

正接の倍角公式 $tan 2 θ = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n ^{2} θ}$ より、 $a_{n} = tan θ_{n}$ とおくと $a_{n + 1} = tan 2 θ_{n}$ である。 $a_{1} = 1/ 3 = tan (π /6)$ だから $a_{n} = tan (2^{n - 1} \frac{π}{6})$ である。 $n = 1$ では $a_{1} = \frac{1}{3}$ である。 $n ≧ 2$ では、 $2^{n - 1}$ は3で割ると $n - 1$ が奇数のとき2、偶数のとき1に合同である。したがって

a_{n} = {3 - 3 (n ≧ 2 が偶数), (n ≧ 3 が奇数)

である。まとめると

a_{1} = \frac{1}{3}, a_{n} = {3 - 3 (n ≧ 2 が偶数), (n ≧ 3 が奇数)

である。

(2)

$x = tan \frac{π}{12}$ とおくと、 $0 < x < 1$ である。倍角公式から $\frac{1}{3} = tan \frac{π}{6} = \frac{2 x}{1 - x ^{2}}$ である。よって $x^{2} + 23 x - 1 = 0$ となり、 $x = - 3 \pm 2$ である。正の解を選んで $tan \frac{π}{12} = 2 - 3$ である。

(3)

$a_{n} = tan (2^{n - 1} \frac{π}{20})$ である。条件 $a_{n + k} = a_{n}$ は

tan (2^{n + k - 1} \frac{π}{20}) = tan (2^{n - 1} \frac{π}{20})

であることを意味する。正接の周期は $π$ なので、これは $(2^{n - 1} (2^{k} - 1)) \frac{π}{20}$ が $π$ の整数倍であることと同値である。 $n ≧ 3$ では $2^{n - 1}$ は少なくとも $4$ を因数にもつ。したがって、すべての $n ≧ 3$ で成り立つためには $5 ∣ (2^{k} - 1)$ であればよい。すなわち $2^{k} \equiv 1 (mod 5)$ である。

2^{1} \equiv 2, 2^{2} \equiv 4, 2^{3} \equiv 3, 2^{4} \equiv 1 (mod 5)

であるから、最小の自然数 $k$ は $4$ である。

九州大学 2011年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2011年度
理系数学第3問