九州大学 2011年度理系数学第1問解答・解説

問題

曲線 $y = x$ 上の点 $P (t, t)$ から直線 $y = x$ へ垂線を引き，交点を $H$ とする。ただし， $t > 1$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $H$ の座標を $t$ を用いて表せ。

(2) $x ≧ 1$ の範囲において，曲線 $y = x$ と直線 $y = x$ および線分 $P H$ とで囲まれた図形の面積を $S_{1}$ とするとき， $S_{1}$ を $t$ を用いて表せ。

(3) 曲線 $y = x$ と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積を $S_{2}$ とする。 $S_{1} = S_{2}$ であるとき， $t$ の値を求めよ。

出典：九州大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

直線 $y = x$ への垂線は傾き $- 1$ なので、点 $P (t, t)$ を通る直線と $y = x$ を連立して $H$ を求める。面積 $S_{1}$ は、 $x = 1$ から $H$ の $x$ 座標までは直線 $y = x$ と曲線 $y = x$ の差、そこから $x = t$ までは線分 $P H$ と曲線の差を積分する。最後は $r = t$ と置いて文系型の式に戻し、 $r > 1$ の根を選ぶ。

解答

(1)

直線 $y = x$ の傾きは1であるから、これに垂直な直線 $P H$ の傾きは $- 1$ である。点 $P (t, t)$ を通るので $y - t = - (x - t)$ すなわち $y = t + t - x$ である。これと $y = x$ を連立すると $x = t + t - x$ より $x = \frac{t + t}{2}$ である。したがって $H (\frac{t + t}{2}, \frac{t + t}{2})$ である。

(2)

$u = \frac{t + t}{2}$ とおく。 $t > 1$ なので $1 < u < t$ である。 $1 ≦ x ≦ u$ では上側が直線 $y = x$ 、下側が曲線 $y = x$ である。 $u ≦ x ≦ t$ では上側が線分 $P H$ の直線 $y = t + t - x$ 、下側が $y = x$ である。

したがって $S_{1} = \int_{1}^{u} (x - x) d x + \int_{u}^{t} (t + t - x - x) d x$ である。計算を整理するために $r = t$ とおくと、 $t = r^{2}$ 、 $u = (r^{2} + r) /2$ である。上の積分を計算すると $S_{1} = \frac{( r - 1 ) ^{2} ( 3 r ^{2} + 4 r + 2 )}{12}$ となる。 $r = t$ に戻せば $S_{1} = \frac{- 2 t t + 3 t ^{2} - 3 t + 2}{12}$ である。

(3)

曲線 $y = x$ と直線 $y = x$ は $x = 0, 1$ で交わり、 $0 ≦ x ≦ 1$ では $x ≧ x$ である。よって

S_{2} = \int_{0}^{1} (x - x) d x = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

である。 $r = t$ とおくと $r > 1$ であり、 $S_{1} = S_{2}$ は $\frac{( r - 1 ) ^{2} ( 3 r ^{2} + 4 r + 2 )}{12} = \frac{1}{6}$ である。したがって $(r - 1)^{2} (3 r^{2} + 4 r + 2) = 2$ であり、整理すると $r^{2} (3 r^{2} - 2 r - 3) = 0$ となる。 $r > 1$ なので $3 r^{2} - 2 r - 3 = 0$ を解き、 $r = \frac{1 + 10}{3}$ である。よって

t = r^{2} = (\frac{1 + 10}{3})^{2} = \frac{11 + 2 10}{9}

である。

九州大学 2011年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2011年度
理系数学第1問