問題
空間内の4点，，，を考える。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 4点，，，を通る球面の中心の座標を求めよ。
(2) 3点，，を通る平面に点から垂線を引き，交点をとする。線分の長さを求めよ。
(3) 四面体の体積を求めよ。
出典：九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
(1)は球の中心 が から等距離にあることを3本の一次方程式にして解く。(2)は平面 の方程式を求め、点と平面の距離公式で を出す。(3)は の面積をベクトルで求め、高さ を掛けて体積を求める。計算確認として、最後は行列式による体積計算も使える。
解答
(1)
球面の中心を とおく。 は4点 から等距離にあるので である。
まず より である。整理して を得る。同様に より なので である。また より だから である。
連立方程式
を解くと である。したがって である。
(2)
3点 を通る平面を とおく。3点を代入して整理すると、平面 の方程式は である。実際、 はいずれもこの式を満たす。
点 からこの平面までの距離が であるから
である。
(3)
である。したがって であり、 である。よって三角形 の面積は
である。
四面体 の底面を 、高さを と見ると、体積は
である。
別解。体積は行列式でも確認できる。点 を基準にして
とおくと、四面体の体積は
である。この行列式を計算すると絶対値は となるので、体積は で一致する。