問題
50円と100円の硬貨が3枚ずつの計6枚と，さいころが1個ある。これらの硬貨6枚とさいころ1個を同時に投げて，表が出た硬貨の合計額にさいころの目の数から2を引いた数の絶対値をかけ合わせた賞金をもらえるものとする。たとえば，硬貨6枚すべてが表となり，さいころの目が6となった場合，表が出た硬貨の合計額450円を4倍した1800円を賞金としてもらえる。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 賞金を全くもらえない確率を求めよ。
(2) もらえる賞金が500円以上となる確率を求めよ。
(3) もらえる賞金の期待値を求めよ。
方針
表の硬貨の合計額 と、さいころによる倍率 は独立に扱える。(1)は賞金0円となる原因が または倍率0、つまり であることを包除で数える。(2)は の分布を、50円硬貨の表の枚数と100円硬貨の表の枚数で作り、倍率2,3,4のときだけ500円以上が可能であることを使う。(3)は独立性により、期待値を として計算する。
解答
(1)
表が出た硬貨の合計額を とする。賞金は である。これが0になるのは または のときである。 となるのは6枚の硬貨がすべて裏のときなので、その確率は である。また はさいころの目が のときであり、その確率は である。硬貨とさいころは独立なので、両方が同時に起こる確率は である。したがって包除原理により、求める確率は である。
(2)
50円硬貨の表の枚数を 、100円硬貨の表の枚数を とすると であり、 である。このようになる硬貨の出方は 通りである。分布をまとめると、 は50円刻みで を取り、それぞれの場合の数は である。
さいころの倍率 は、 に対して である。倍率0では賞金は0、倍率1では最大でも450円なので、500円以上にはならない。したがって考えるのは倍率2,3,4のときだけである。
倍率2のときは より が必要で、この場合の硬貨の出方は 通りである。倍率3のときは なので、50円刻みで考えて が必要であり、場合の数は 通りである。倍率4のときは なので が必要で、場合の数は 通りである。
さいころの各目は1通りずつで、全事象は 通りである。よって有利な場合の数は であり、求める確率は である。
(3)
硬貨の合計額 と倍率 は独立である。したがって賞金の期待値は である。
まず、各硬貨が表になる確率は であるから である。また、さいころの倍率の期待値は
である。よって賞金の期待値は である。