九州大学 2011年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$a > 0$ ， $b > 0$ ， $0 < α < 1$ ， $0 < β < 1$ として，以下の問いに答えよ。

(1) 初項 $a_{1} = a$ と漸化式

a_{n + 1} = α a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

で定義された数列 ${a_{n}}$ がある。このとき，

x_{n} = lo g_{10} a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

により定まる数列 ${x_{n}}$ の一般項を $n$ ， $α$ ， $a$ を用いて表せ。

(2) 初項 $b_{1} = b$ と漸化式

b_{n + 1} = β b_{n}^{2} (n = 1, 2, 3, \dots)

で定義された数列 ${b_{n}}$ がある。このとき，

y_{n} = lo g_{10} b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

により定まる数列 ${y_{n}}$ の一般項を $n$ ， $β$ ， $b$ を用いて表せ。

(3) $a = b = 1$ のとき，

n \to \infty lim \frac{x _{n + 1}}{y _{n + 1}} = 0

を証明せよ。

出典：九州大学 2011年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は等比数列をそのまま対数に移す。(2)は $b_{n + 1} = β b_{n}^{2}$ の両辺の常用対数を取り、 $y_{n + 1} = 2 y_{n} + lo g_{10} β$ という一次漸化式に直す。定数項を含む等比和を丁寧に計算する。(3)では $a = b = 1$ によって初期対数が0になり、分子は $n$ に比例、分母は $2^{n}$ に比例して増えることを示す。

解答

(1)

漸化式 $a_{n + 1} = α a_{n}$ より、数列 ${a_{n}}$ は初項 $a$ 、公比 $α$ の等比数列である。したがって $a_{n} = a α^{n - 1}$ である。常用対数を取ると

x_{n} = lo g_{10} a_{n} = lo g_{10} (a α^{n - 1}) = lo g_{10} a + (n - 1) lo g_{10} α

である。

(2)

$y_{n} = lo g_{10} b_{n}$ とおく。漸化式 $b_{n + 1} = β b_{n}^{2}$ の両辺の常用対数を取ると $y_{n + 1} = lo g_{10} β + 2 lo g_{10} b_{n} = 2 y_{n} + lo g_{10} β$ である。また $y_{1} = lo g_{10} b$ である。

この漸化式を繰り返すと

y_{n} = 2^{n - 1} y_{1} + (1 + 2 + \dots + 2^{n - 2}) lo g_{10} β = 2^{n - 1} lo g_{10} b + (2^{n - 1} - 1) lo g_{10} β

である。よって $y_{n} = 2^{n - 1} lo g_{10} b + (2^{n - 1} - 1) lo g_{10} β$ である。

(3)

$a = b = 1$ のとき、 $lo g_{10} a = lo g_{10} b = 0$ である。(1)(2)の結果より $x_{n + 1} = n lo g_{10} α$ であり、 $y_{n + 1} = (2^{n} - 1) lo g_{10} β$ である。 $0 < α < 1$ 、 $0 < β < 1$ より、 $lo g_{10} α$ と $lo g_{10} β$ はどちらも負であり、特に $lo g_{10} β \neq = 0$ である。

したがって

\frac{x _{n + 1}}{y _{n + 1}} = \frac{n}{2 ^{n} - 1} \cdot \frac{lo g _{10} α}{lo g _{10} β}

である。ここで $2^{n}$ は $n$ より速く増大し、例えば $n / 2^{n} \to 0$ であるから $lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 ^{n} - 1} = 0$ である。よって定数倍しても極限は0であり、 $n \to \infty lim \frac{x _{n + 1}}{y _{n + 1}} = 0$ が示された。

九州大学 2011年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2011年度
後期・理系数学後期第1問