九州大学 2011年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

$f(x)=-x\sin x$ であるから $f^{\prime }(x)=-\sin x-x\cos x$ であり、さらに $f^{\prime \prime }(x)=-2\cos x+x\sin x$ である。

まず $0<x<\pi /2$ で考える。この範囲では $\cos x>0$ なので、$f^{\prime \prime }(x)=0$ は $-2\cos x+x\sin x=0$ すなわち $x\tan x=2$ と同値である。ここで $x\tan x$ は $0<x<\pi /2$ で単調増加する。実際、微分すると $\tan x+x\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ である。また $x\to 0+$ で $x\tan x\to 0$、$x\to \pi /2-$ で $x\tan x\to \infty$ である。したがって $x\tan x=2$ はこの範囲にただ1つの解をもつ。

次に $\pi /2<x<\pi$ では $\cos x<0$、$\sin x>0$ であるから $-2\cos x+x\sin x>0$ である。よってこの範囲には $f^{\prime \prime }(x)=0$ の解はない。したがって $0<x<\pi$ において、方程式 $f^{\prime \prime }(x)=0$ はただ1つの解 $x=a$ をもつ。

(2)

(1)で得た $a$ より右側では $f^{\prime \prime }(x)>0$ である。したがって $a<x<\pi$ で $f^{\prime }(x)$ は単調増加する。

ここで $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=-1$ である。さらに $a<\pi /2$ であり、$f^{\prime }$ は $(a,\pi )$ で単調増加するので、方程式 $f^{\prime }(x)=-1$ の解は $\boxed{b=\frac{\pi }{2}}$ のただ1つである。

この点での曲線上の点は

である。接線の傾きは $f^{\prime }(b)=-1$ なので、法線の傾きは $1$ である。したがって法線 $m$ は $y+\frac{\pi }{2}=x-\frac{\pi }{2}$ すなわち $\boxed{y=x-\pi }$ である。

(3)

法線 $m$ は $y=x-\pi$ であり、$0\leqq x\leqq \pi /2$ では $x-\pi <0$ である。また曲線は $y=-x\sin x\leqq 0$ である。$x=\pi /2$ では両者は一致し、$0\leqq x<\pi /2$ では法線の方が下にある。

したがって $x$ 軸のまわりに回転すると、外半径は $\pi -x$ で、内半径は $x\sin x$ である。よって体積は $V=\pi {\int }_0^{\pi /2}\{(\pi -x{)}^2-x^2{\sin }^{2}x\}dx$ である。

まず

である。また ${\sin }^{2}x=(1-\cos 2x)/2$ を用いると

である。部分積分により ${\int }_0^{\pi /2}{x}^2\cos 2xdx=-\frac{\pi }{4}$ なので ${\int }_0^{\pi /2}{x}^2{\sin }^{2}xdx=\frac{{\pi }^3}{48}+\frac{\pi }{8}$ である。

したがって