九州大学 2011年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) 原点のまわりの角 $θ$ の回転移動を表す行列を $R_{θ}$ とする。回転 $R_{θ}$ によって点 $(2, 1)$ に移されるもとの点 $(a, b)$ を求めよ。

(2) 原点を通り，傾き $tan θ$ $(0 < θ < \frac{π}{2})$ の直線を $l$ とする。
また，点 $P (x, y)$ を直線 $l$ に関して対称移動した点を $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ とする。このとき， $x^{'}$ と $y^{'}$ を $x$ ， $y$ および $θ$ を用いて表し，この移動を表す行列 $A_{θ}$ を求めよ。

(3) $x$ 軸に関する対称移動を表す行列を $B$ とする。
このとき， $R_{θ} B R_{θ}^{- 1} = A_{θ}$ となることを示せ。

(4) $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ， $0 < γ < \frac{π}{2}$ とする。
2つの行列の積 $A_{α} A_{β}$ はある角の回転移動を表すことを示せ。また3つの行列の積 $A_{α} A_{β} A_{γ}$ によって表される移動は決して回転移動を表さないことを示せ。

出典：九州大学 2011年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は回転後の点から角 $- θ$ だけ戻す。(2)は直線方向の単位ベクトルと垂直方向の単位ベクトルに分解し、直線に関する対称移動で垂直成分だけ符号が変わることを使う。(3)は $x$ 軸対称をいったん行い、それを角 $θ$ だけ回転した座標系に移す計算として行列積を確認する。(4)は2つの反射の積が回転行列になることを成分計算で示し、3つの反射の積は再び反射型の行列になり、回転行列の形とは一致しないことを成分比較で示す。

解答

(1)

角 $θ$ の回転によって $(a, b)$ が $(2, 1)$ に移されるので、 $(a, b)$ は $(2, 1)$ を角 $- θ$ だけ回転した点である。したがって

(a b) = (cos θ - sin θ sin θ cos θ) (21)

である。よって $a = 2 cos θ + sin θ, b = - 2 sin θ + cos θ$ である。

(2)

直線 $l$ の方向の単位ベクトルを $e = (cos θ, sin θ)$ とし、それに垂直な単位ベクトルを $n = (- sin θ, cos θ)$ とする。点 $P (x, y)$ の位置ベクトルは $p = (x, y)$ である。 $p$ を $e$ 方向と $n$ 方向に分けると $p = (p \cdot e) e + (p \cdot n) n$ である。直線 $l$ に関する対称移動では、 $e$ 方向成分はそのままで、 $n$ 方向成分だけ符号が変わる。したがって $p^{'} = (p \cdot e) e - (p \cdot n) n$ である。

これを成分で計算すると $x^{'} = x cos 2 θ + y sin 2 θ$ であり、 $y^{'} = x sin 2 θ - y cos 2 θ$ である。よってこの移動を表す行列は

A_{θ} = (cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ - cos 2 θ)

である。

(3)

$x$ 軸に関する対称移動を表す行列は

B = (10 0 - 1)

である。また

R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ), R_{θ}^{- 1} = (cos θ - sin θ sin θ cos θ)

である。したがって

R_{θ} B R_{θ}^{- 1} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (10 0 - 1) (cos θ - sin θ sin θ cos θ)

である。これを計算すると

R_{θ} B R_{θ}^{- 1} = (cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ - cos 2 θ) = A_{θ}

となる。

(4)

(2)の結果を用いて計算する。加法定理により

A_{α} A_{β} = (cos 2 (α - β) sin 2 (α - β) - sin 2 (α - β) cos 2 (α - β))

である。これは角 $2 (α - β)$ の回転移動を表す行列である。

次に、これに $A_{γ}$ を掛けると

A_{α} A_{β} A_{γ} = (cos 2 (α - β + γ) sin 2 (α - β + γ) sin 2 (α - β + γ) - cos 2 (α - β + γ))

となる。

これがある角 $ϕ$ の回転移動を表すと仮定すると

(cos 2 (α - β + γ) sin 2 (α - β + γ) sin 2 (α - β + γ) - cos 2 (α - β + γ)) = (cos ϕ sin ϕ - sin ϕ cos ϕ)

である。左上成分と右下成分を比べると $cos ϕ = - cos ϕ$ となるので $cos ϕ = 0$ である。一方、右上成分と左下成分を比べると $- sin ϕ = sin ϕ$ となるので $sin ϕ = 0$ である。これは $sin ϕ$ と $cos ϕ$ が同時に0になることを意味し、不可能である。したがって $A_{α} A_{β} A_{γ}$ は決して回転移動を表さない。

別解。幾何的には、 $A_{θ}$ は原点を通る直線に関する対称移動である。2つの対称移動を続けると、2つの対称軸のなす角の2倍だけ回転する移動になる。一方、3つの対称移動は「回転の後に対称移動」を行う形になるので、向きを反転する移動であり、向きを保つ回転移動にはならない。これは上の行列計算で得た反射型の行列と一致している。

九州大学 2011年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2011年度
後期・理系数学後期第2問