問題
座標平面上の楕円 について，以下の問いに答えよ。
(1) 座標が小さい方の焦点を極とし，から軸の正の方向へ向かう半直線を始線とする極座標で表された楕円の極方程式を求めよ。
(2) 座標平面上の原点と楕円上の2点，について，線分と線分とが互いに直交する位置にあるとする。線分およびの長さをそれぞれ，とするとき，の値は定数となることを示せ。
出典：九州大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
(1)は左焦点を極にした極座標に直し、楕円の「2焦点からの距離の和が 」という性質を使う。右焦点までの距離を として2乗し、 を用いて整理する。(2)は原点から見た方向角を とし、楕円上の点までの距離 を方程式に代入して を方向だけで表す。直交する方向は なので、足すと三角関数が消える。
解答
(1)
とおく。楕円の焦点は であり、 座標が小さい方の焦点は である。
この を極とし、 軸正方向を始線とする極座標で点を表すと である。また、右の焦点を とする。楕円上の点では であり、 だから である。
一方、座標から
である。したがって である。展開して を消すと であり、4で割って整理すると である。 だから である。
(2)
原点から楕円上の点へ向かう方向角を とし、その点までの距離を とする。この点の座標は である。楕円の方程式 に代入すると である。よって である。
2本の線分 が直交するなら、対応する方向角は と としてよい。したがって であり、
である。これらを足すと
である。これは の位置によらない定数である。