九州大学 2010年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$n$ ， $N$ を正の整数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $k$ を正の定数とし，関数 $f (x)$ は $f (x) = f (x + k)$ をみたすとする。このとき，

T_{n} = \int_{k (n - 1)}^{k n} e^{- x} f (x) d x, S_{N} = n = 1 \sum N T_{n}

とおく。 $T_{n}$ と $S_{N}$ を $T_{1}$ で表せ。

(2) (1)において $f (x) ≧ 0$ とする。このとき， $k$ 以上の実数 $z$ に対して

S_{n} ≦ \int_{0}^{z} e^{- x} f (x) d x < S_{N + 1}

が成立するような $N$ を求めよ。さらに，この不等式を用いて極限 $z \to \infty lim \int_{0}^{z} e^{- x} f (x) d x$ が存在することを示し，この極限を $T_{1}$ で表せ。

(3) $h (x) = e^{- x} ∣ cos π x ∣$ とする。 $y = h (x)$ ， $x$ 軸， $y$ 軸および $x = z$ で囲まれた部分の面積を $V (z)$ とおく。 $z \to \infty lim V (z)$ を求めよ。

出典：九州大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

周期関数 $f$ と指数関数 $e^{- x}$ の積なので，長さ $k$ ごとの区間積分は毎回 $e^{- k}$ 倍される。(2)では $z$ を含む区間番号 $N$ を選び， $f ≧ 0$ から部分和で積分をはさむ。最後は $h (x) = e^{- x} ∣ cos π x ∣$ を $e^{- x} f (x)$ の形に見て $k = 1$ を適用し， $T_{1}$ だけを絶対値で区間分割して計算する。

解答

(1)

$T_{n}$ で $x = u + k (n - 1)$ とおくと， $u$ は $0$ から $k$ まで動く。 $f$ は周期 $k$ をもつので $f (u + k (n - 1)) = f (u)$ である。したがって

T_{n} = \int_{0}^{k} e^{- (u + k (n - 1))} f (u + k (n - 1)) d u = e^{- k (n - 1)} \int_{0}^{k} e^{- u} f (u) d u = e^{- k (n - 1)} T_{1}

である。よって

S_{N} = T_{1} {1 + e^{- k} + e^{- 2 k} + \dots + e^{- k (N - 1)}} = \frac{1 - e ^{- k N}}{1 - e ^{- k}} T_{1}

である。

(2)

$z ≧ k$ に対し， $k N ≦ z < k (N + 1)$ を満たす整数 $N$ ，すなわち $N = ⌊ \frac{z}{k} ⌋$ をとる。このとき $f (x) ≧ 0$ より $e^{- x} f (x) ≧ 0$ であるから，積分区間の包含関係から

\int_{0}^{k N} e^{- x} f (x) d x ≦ \int_{0}^{z} e^{- x} f (x) d x < \int_{0}^{k (N + 1)} e^{- x} f (x) d x

である。左辺と右辺はそれぞれ $S_{N}$ ， $S_{N + 1}$ なので $S_{N} ≦ \int_{0}^{z} e^{- x} f (x) d x < S_{N + 1}$ である。

$z \to \infty$ のとき $N \to \infty$ であり，(1)より $S_{N} \to \frac{T _{1}}{1 - e ^{- k}}, S_{N + 1} \to \frac{T _{1}}{1 - e ^{- k}}$ である。したがってはさみうちにより $z \to \infty lim \int_{0}^{z} e^{- x} f (x) d x = \frac{T _{1}}{1 - e ^{- k}}$ である。

(3)

$h (x) = e^{- x} ∣ cos π x ∣$ であり， $f (x) = ∣ cos π x ∣$ とおけば， $f$ は周期 $1$ をもつ非負関数である。したがって(2)を $k = 1$ で用いれば，求める極限は $\frac{T _{1}}{1 - e ^{- 1}}$ である。

ここで $T_{1} = \int_{0}^{1} e^{- x} ∣ cos π x ∣ d x$ を計算する。 $0 ≦ x ≦ 1/2$ では $cos π x ≧ 0$ ， $1/2 ≦ x ≦ 1$ では $cos π x ≦ 0$ である。また

\int e^{- x} cos π x d x = \frac{e ^{- x} ( - cos π x + π sin π x )}{1 + π ^{2}}

である。よって

T_{1} = \int_{0}^{1/2} e^{- x} cos π x d x - \int_{1/2}^{1} e^{- x} cos π x d x = \frac{1 - e ^{- 1} + 2 π e ^{- 1/2}}{1 + π ^{2}}

である。したがって

z \to \infty lim V (z) = \frac{e - 1 + 2 π e}{( e - 1 ) ( 1 + π ^{2} )}

である。

九州大学 2010年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2010年度
後期・理系数学後期第5問