九州大学 2010年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

点 $(x_{n} y_{n})$ が，行列を用いて次のように与えられている。

(x_{n} y_{n}) = \frac{1}{3} \frac{4}{9} 1 \frac{1}{3} (x_{n - 1} y_{n - 1}), (n = 1, 2, 3, \dots)

以下の問いに答えよ。

(1) $(x_{0} y_{0}) = (32)$ のときの $(x_{n} y_{n})$ を $P_{n}$ とする。点 $P_{n}$ の座標を求めよ。

(2) $(x_{0} y_{0}) = (3 - 2)$ のときの $(x_{n} y_{n})$ を $Q_{n}$ とする。点 $Q_{n}$ の座標を求めよ。

(3) $(x_{0} y_{0}) = (k 0)$ （ただし $k$ は正の実数）のときの $(x_{n} y_{n})$ を $R_{n}$ とする。点 $R_{n}$ の座標を求めよ。

(4) 点 $R_{n}$ と点 $R_{n - 1}$ の間の距離を $∣ R_{n} R_{n - 1} ∣$ とする。 $n = 1 \sum \infty ∣ R_{n} R_{n - 1} ∣$ を求めよ。

出典：九州大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

与えられた行列が，二つのベクトル $(3, 2)$ と $(3, - 2)$ をどのように変えるかを直接計算する。 $(3, 2)$ はそのまま残り， $(3, - 2)$ は毎回 $- 1/3$ 倍されるため，初期値 $(k, 0)$ をこの二つの和に分解すれば一般項が出る。最後は隣り合う $R_{n}$ の差を計算し，長さが等比数列になることを示して無限和を求める。

解答

(1)

与えられた行列を $A$ とおく。直接計算すると

A (32) = (\frac{1}{3} \cdot 3 + 1 \cdot 2 \frac{4}{9} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 2) = (32)

である。したがって，初期値が $(3, 2)$ のときは点は動かず， $P_{n} = (3, 2)$ である。

(2)

同様に

A (3 - 2) = (\frac{1}{3} \cdot 3 - 2 \frac{4}{9} \cdot 3 - \frac{2}{3}) = (- 1 \frac{2}{3}) = - \frac{1}{3} (3 - 2)

である。つまり，この方向の成分は1回ごとに $- 1/3$ 倍される。よって $Q_{n} = (- \frac{1}{3})^{n} (3, - 2)$ である。

(3)

初期値 $(k, 0)$ を(1)(2)の二つのベクトルで表すと

(k 0) = \frac{k}{6} (32) + \frac{k}{6} (3 - 2)

である。第一の成分は何回操作しても変わらず，第二の成分は $n$ 回後に $(- 1/3)^{n}$ 倍されるので

R_{n} = \frac{k}{6} (32) + \frac{k}{6} (- \frac{1}{3})^{n} (3 - 2) = \frac{k}{2} {1 + (- \frac{1}{3})^{n}} \frac{k}{3} {1 - (- \frac{1}{3})^{n}}

である。したがって

R_{n} = (\frac{k}{2} {1 + (- \frac{1}{3})^{n}}, \frac{k}{3} {1 - (- \frac{1}{3})^{n}})

である。

(4)

$s_{n} = (- \frac{1}{3})^{n}$ とおくと，(3)より

R_{n} - R_{n - 1} = (\frac{k}{2} (s_{n} - s_{n - 1}), - \frac{k}{3} (s_{n} - s_{n - 1}))

である。また

s_{n} - s_{n - 1} = (- \frac{1}{3})^{n - 1} (- \frac{1}{3} - 1) = - \frac{4}{3} (- \frac{1}{3})^{n - 1}

だから $∣ s_{n} - s_{n - 1} ∣ = \frac{4}{3} (\frac{1}{3})^{n - 1}$ である。したがって

∣ R_{n} - R_{n - 1} ∣ = ∣ s_{n} - s_{n - 1} ∣ k \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{4}{3} (\frac{1}{3})^{n - 1} k \cdot \frac{13}{6} = \frac{2 k 13}{9} (\frac{1}{3})^{n - 1}

である。よって求める和は

n = 1 \sum \infty ∣ R_{n} - R_{n - 1} ∣ = \frac{2 k 13}{9} n = 1 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n - 1} = \frac{2 k 13}{9} \cdot \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{k 13}{3}

である。

九州大学 2010年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2010年度
後期・理系数学後期第3問