九州大学 2010年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

鋭角三角形 $A B C$ において， $a = C A$ ， $b = C B$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 線分 $A C$ を $1 : 2$ に内分する点を $P$ ，線分 $B C$ を $2 : 3$ に内分する点を $Q$ とする。ここで線分 $A C$ の長さを $∣ A C ∣$ で表すとして， $∣ A C ∣ = 12$ および $∣ B C ∣ = 55$ とする。このとき， $∣ A Q ∣ > ∣ B P ∣$ であることを示せ。

(2) $n$ を正の整数， $r$ を $0 < r < 1$ をみたす実数とする。線分 $A C$ を $1 - r : r$ に内分する点を $E$ ，線分 $B C$ を $1 - r^{n} : r^{n}$ に内分する点を $F$ とし，線分 $A F$ と線分 $B E$ の交点を $R$ とする。 $C R$ を $a$ ， $b$ ， $n$ ， $r$ を用いて表せ。

(3) (2)において， $n$ を固定して $r \to 1$ としたとき，交点 $R$ は辺 $A B$ 上のある点 $S$ に近づく。このとき， $∣ A S ∣ : ∣ S B ∣$ を求めよ。

出典：九州大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

$C$ を基準にして $C A = a$ ， $C B = b$ を座標軸のように使う。(1)は $A Q^{2} - B P^{2}$ を内積で比べると定数部分が消え，鋭角三角形の条件 $a \cdot b > 0$ が効く。(2)は $E = r a$ ， $F = r^{n} b$ と表し， $R$ を直線 $A F$ 上と直線 $B E$ 上の二通りで表して係数比較する。(3)は得た係数の $r \to 1$ の極限を取り，辺 $A B$ 上の内分比に直す。

解答

(1)

$C$ を原点のように見れば， $A = a, B = b$ である。 $P$ は $A C$ を $1 : 2$ に内分するので $A P : P C = 1 : 2$ であり， $P = \frac{2}{3} a$ である。また， $Q$ は $B C$ を $2 : 3$ に内分するので $B Q : QC = 2 : 3$ であり， $Q = \frac{3}{5} b$ である。

したがって

A Q = \frac{3}{5} b - a, B P = \frac{2}{3} a - b

である。 $∣ a ∣ = 12$ ， $∣ b ∣ = 55$ を用いて二乗の差を計算すると

∣ A Q ∣^{2} - ∣ B P ∣^{2} = \frac{3}{5} b - a^{2} - \frac{2}{3} a - b^{2} = (∣ a ∣^{2} - \frac{6}{5} a \cdot b + \frac{9}{25} ∣ b ∣^{2}) - (\frac{4}{9} ∣ a ∣^{2} - \frac{4}{3} a \cdot b + ∣ b ∣^{2}) = (144 - \frac{6}{5} a \cdot b + 45) - (64 - \frac{4}{3} a \cdot b + 125) = \frac{2}{15} a \cdot b

である。三角形 $A B C$ は鋭角三角形なので，特に $∠ A C B$ は鋭角であり， $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos ∠ A C B > 0$ である。よって $∣ A Q ∣^{2} > ∣ B P ∣^{2}$ であり，長さは正だから $∣ A Q ∣ > ∣ B P ∣$ である。

(2)

$E$ は $A C$ を $1 - r : r$ に内分するから $E = r a$ である。同様に， $F$ は $B C$ を $1 - r^{n} : r^{n}$ に内分するから $F = r^{n} b$ である。

$R$ は直線 $A F$ 上にあるので，ある実数 $s$ を用いて $R = (1 - s) a + s r^{n} b$ と表せる。また， $R$ は直線 $B E$ 上にもあるので，ある実数 $u$ を用いて $R = (1 - u) b + u r a$ と表せる。係数を比較すると $1 - s = u r, s r^{n} = 1 - u$ である。第一式から $u = (1 - s) / r$ であるから，第二式へ代入して $s r^{n} = 1 - \frac{1 - s}{r} = \frac{r - 1 + s}{r}$ を得る。したがって $s (r^{n + 1} - 1) = r - 1, s = \frac{r - 1}{r ^{n + 1} - 1}$ である。よって

C R = R = (1 - s) a + s r^{n} b = \frac{r ( r ^{n} - 1 )}{r ^{n + 1} - 1} a + \frac{r ^{n} ( r - 1 )}{r ^{n + 1} - 1} b

である。

(3)

(2)の係数をそれぞれ $r \to 1$ で調べる。まず

\frac{r ( r ^{n} - 1 )}{r ^{n + 1} - 1} = r \frac{1 + r + \dots + r ^{n - 1}}{1 + r + \dots + r ^{n}} ⟶ \frac{n}{n + 1}

である。また

\frac{r ^{n} ( r - 1 )}{r ^{n + 1} - 1} = \frac{r ^{n}}{1 + r + \dots + r ^{n}} ⟶ \frac{1}{n + 1}

である。したがって極限の点を $S$ とすると $C S = \frac{n}{n + 1} a + \frac{1}{n + 1} b$ である。

これは $S = A + \frac{1}{n + 1} (B - A)$ を意味するので， $S$ は辺 $A B$ 上にあり $A S : S B = 1 : n$ を満たす点である。

九州大学 2010年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2010年度
後期・理系数学後期第2問