九州大学 2010年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

直線 $y = a x$ （ただし $a$ は正の実数）を $l$ とし，曲線 $y = f (x)$ （ただし $x ≧ 0$ ）を $C$ とする。曲線 $C$ が直線 $l$ の下側にあり，曲線 $C$ 上の点 $(t, f (t))$ と直線 $l$ との距離が $a t^{2}$ で表されるとき，以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $f (x)$ を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形を， $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

(3) $V$ が最大となるように $a$ の値を定めよ。

出典：九州大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

曲線が直線 $y = a x$ の下側にあるので，点 $(t, f (t))$ から直線までの距離は符号を迷わず ${a t - f (t)} / a^{2} + 1$ と書ける。これを $a t^{2}$ に等置して $f$ を決める。体積は $f (x) = a x - a a^{2} + 1 x^{2}$ の正の零点までを $x$ 軸回転し，最後は $a$ だけの関数 $a^{2} / (a^{2} + 1)^{3/2}$ を微分して最大値の位置を調べる。

解答

(1)

直線 $l$ は $a x - y = 0$ と書ける。曲線 $C$ は直線 $l$ の下側にあるので，点 $(t, f (t))$ について $a t - f (t) ≧ 0$ である。したがって点 $(t, f (t))$ と直線 $l$ との距離は $\frac{a t - f ( t )}{a ^{2} + 1}$ である。これが $a t^{2}$ に等しいから $\frac{a t - f ( t )}{a ^{2} + 1} = a t^{2}$ であり， $f (t) = a t - a a^{2} + 1 t^{2}$ を得る。よって $f (x) = a x - a a^{2} + 1 x^{2}$ である。

(2)

$k = a^{2} + 1$ とおくと $f (x) = a x - ak x^{2} = a x (1 - k x)$ である。 $x ≧ 0$ で $f (x) = 0$ となるのは $x = 0, x = \frac{1}{k}$ であるから，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれる部分は $0 ≦ x ≦ 1/ k$ にある。したがって回転体の体積は

V = π \int_{0}^{1/ k} {a x (1 - k x)}^{2} d x = π a^{2} \int_{0}^{1/ k} x^{2} (1 - k x)^{2} d x

である。 $u = k x$ とおくと

\int_{0}^{1/ k} x^{2} (1 - k x)^{2} d x = \frac{1}{k ^{3}} \int_{0}^{1} u^{2} (1 - u)^{2} d u = \frac{1}{k ^{3}} \int_{0}^{1} (u^{2} - 2 u^{3} + u^{4}) d u = \frac{1}{k ^{3}} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}) = \frac{1}{30 k ^{3}}

である。よって $V = \frac{π a ^{2}}{30 ( a ^{2} + 1 ) ^{3/2}}$ である。

(3)

$π /30$ は正の定数なので， $ϕ (a) = \frac{a ^{2}}{( a ^{2} + 1 ) ^{3/2}} (a > 0)$ を最大にすればよい。微分すると

ϕ^{'} (a) = 2 a (a^{2} + 1)^{- 3/2} - 3 a^{3} (a^{2} + 1)^{- 5/2} = \frac{a ( 2 - a ^{2} )}{( a ^{2} + 1 ) ^{5/2}}

である。 $a > 0$ より， $ϕ^{'} (a)$ の符号は $2 - a^{2}$ の符号で決まる。したがって $ϕ (a)$ は $0 < a < 2$ で増加し， $a > 2$ で減少する。よって $V$ を最大にする $a$ は $a = 2$ である。

九州大学 2010年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2010年度
後期・理系数学後期第1問