問題
表と裏の出る確率がずつの硬貨を投げ，表なら1点，裏なら0点とする。，を正の整数として，以下の問いに答えよ。
(1) 硬貨を繰り返し投げ，得点の合計が3点に達したら終了することにする。ちょうど5回目で終了する確率はいくらか。また，ちょうど回目で終了する確率をとするとき，を証明せよ。
(2) 硬貨を繰り返し投げ，得点の合計が点に達したら終了することにする。ちょうど回目で終了する確率をとする。を固定したままを動かすときのの最大値を求めよ。
方針
終了する回は必ず表が出た回であり，その直前までに必要な表の枚数がちょうどそろっている。この条件からやを直接数える。(1)の累積確率は，回までに終了していない事象を「表が高々2回」と数えると短く証明できる。(2)の最大値は，隣り合う確率の比を調べ，増加から減少へ変わる場所を特定する。
解答
(1)
得点の合計が3点に達してちょうど5回目で終了するには，5回目が表で，はじめの4回のうち表が2回出ていればよい。したがって確率は である。
一般に，ちょうど回目で終了するには，回目が表で，はじめの回のうち表が2回出ていればよい。よって であり，ではである。
次に，回目までに終了していないということは，回の中で表が0回，1回，2回のいずれかである。したがって
である。これはでも成り立つ。
別解。を用いて帰納法で示してもよい。では両辺ともである。で成り立つと仮定すると，
となり，の場合も成り立つ。
(2)
ちょうど回目で合計が点に達するには，回目が表で，はじめの回のうち表が回出ていればよい。したがって であり，ではである。
まずのときは なので，最大はで，最大値はである。
以下，とする。について隣り合う項の比を計算すると
である。この比が以上となる条件は すなわち である。したがってはまで増加し，となった後，減少する。よって最大は で生じ，最大値は である。