九州大学 2009年度理系数学第5問解答・解説

問題

曲線 $y = e^{x}$ 上を動く点 $P$ の時刻 $t$ における座標を $(x (t), y (t))$ と表し， $P$ の速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれ $v = (\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t})$ と $α = (\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}, \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}})$ とする。すべての時刻 $t$ で $∣ v ∣ = 1$ かつ $\frac{d x}{d t} > 0$ であるとして，次の問いに答えよ。

(1) $P$ が点 $(s, e^{s})$ を通過する時刻における速度ベクトル $v$ を $s$ を用いて表せ。

(2) $P$ が点 $(s, e^{s})$ を通過する時刻における加速度ベクトル $α$ を $s$ を用いて表せ。

(3) $P$ が曲線全体を動くとき， $∣ α ∣$ の最大値を求めよ。

出典：九州大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

曲線上にいるので $y = e^{x}$ を時刻で微分し，速度を $(d x / d t) (1, e^{x})$ と表す。速さ1かつ $d x / d t > 0$ から $d x / d t$ を正の値として決定する。(2)は速度ベクトルをxの関数と見て微分し，さらに $d x / d t$ を掛けて時刻微分に戻す。(3)は加速度の大きさを $u = e^{s} > 0$ で一変数関数にし，微分して最大値を求める。最大化では $u > 0$ の端の挙動も見て，唯一の臨界点が最大であることを確認する。

解答

(1)

点Pは曲線 $y = e^{x}$ 上を動くので $y (t) = e^{x (t)}$ である。これをtで微分すると $\frac{d y}{d t} = e^{x} \frac{d x}{d t}$ である。したがって速度ベクトルは

v = (\frac{d x}{d t}, e^{x} \frac{d x}{d t}) = \frac{d x}{d t} (1, e^{x})

である。

速さが1であるから $∣ v ∣^{2} = (\frac{d x}{d t})^{2} (1 + e^{2 x}) = 1$ である。また $d x / d t > 0$ より $\frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 + e ^{2 x}}$ である。したがって $v = \frac{1}{1 + e ^{2 x}} (1, e^{x})$ である。Pが $(s, e^{s})$ を通過する時刻では $x = s$ なので $v = \frac{1}{1 + e ^{2 s}} (1, e^{s})$ である。

(2)

速度ベクトルをxの関数として

v (x) = ((1 + e^{2 x})^{- 1/2}, e^{x} (1 + e^{2 x})^{- 1/2})

と見る。時刻微分は $\frac{d}{d t} = \frac{d x}{d t} \frac{d}{d x}$ であり， $d x / d t = (1 + e^{2 x})^{- 1/2}$ である。

第1成分について $\frac{d}{d x} (1 + e^{2 x})^{- 1/2} = - e^{2 x} (1 + e^{2 x})^{- 3/2}$ だから，時刻微分すると

- e^{2 x} (1 + e^{2 x})^{- 3/2} \cdot (1 + e^{2 x})^{- 1/2} = - \frac{e ^{2 x}}{( 1 + e ^{2 x} ) ^{2}}

である。

第2成分について

\frac{d}{d x} {e^{x} (1 + e^{2 x})^{- 1/2}} = e^{x} (1 + e^{2 x})^{- 1/2} - e^{x} e^{2 x} (1 + e^{2 x})^{- 3/2} = e^{x} (1 + e^{2 x})^{- 3/2}

である。これに $d x / d t = (1 + e^{2 x})^{- 1/2}$ を掛けると $\frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{2 x} ) ^{2}}$ である。よって $x = s$ のとき

α = (- \frac{e ^{2 s}}{( 1 + e ^{2 s} ) ^{2}}, \frac{e ^{s}}{( 1 + e ^{2 s} ) ^{2}})

である。

(3)

(2)より

∣ α ∣ = \frac{e ^{4 s}}{( 1 + e ^{2 s} ) ^{4}} + \frac{e ^{2 s}}{( 1 + e ^{2 s} ) ^{4}} = \frac{e ^{s} 1 + e ^{2 s}}{( 1 + e ^{2 s} ) ^{2}} = \frac{e ^{s}}{( 1 + e ^{2 s} ) ^{3/2}}

である。 $u = e^{s}$ とおくと $u > 0$ であり，最大化すべき関数は $F (u) = \frac{u}{( 1 + u ^{2} ) ^{3/2}}$ である。微分すると

F^{'} (u) = (1 + u^{2})^{- 3/2} - 3 u^{2} (1 + u^{2})^{- 5/2} = \frac{1 - 2 u ^{2}}{( 1 + u ^{2} ) ^{5/2}}

である。したがって $F^{'} (u) = 0$ となるのは $u = \frac{1}{2}$ のときである。 $0 < u < 1/ 2$ では増加， $u > 1/ 2$ では減少するので，ここで最大となる。

最大値は

\frac{1/ 2}{( 1 + 1/2 ) ^{3/2}} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{3/2} = \frac{2}{3 3}

である。

九州大学 2009年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2009年度
理系数学第5問