九州大学 2009年度
理系数学 第4問

解答

(1)

もし$Y=-X$であると仮定する。このとき$AX=Y=-X$である。すると $AY=A(-X)=-AX=X$ となるので，条件$AY=Z$より$Z=X$である。さらに$AZ=X$である一方，$Z=X$だから $AZ=AX=Y$ となる。よって$X=Y$が従うが，これは$Y=-X$および$X\ne 0$に反する。したがって $\boxed{Y\ne -X}$ である。

(2)

問題文より$Y\ne X$であり，(1)より$Y\ne -X$である。XとYはいずれも大きさ1の2次元ベクトルである。もしXとYが同じ直線上にあれば，単位ベクトルであることから$Y=X$または$Y=-X$しかない。しかしどちらも成り立たない。したがってXとYは平行でない。

2次元平面で平行でない2本のベクトルは基底になるので，任意の2次元ベクトルはXとYの一次結合としてただ一通りに表される。特にZについて，実数$s,t$がただ一組存在して $\boxed{Z=sX+tY}$ と表せる。

(3)

(2)により $Z=sX+tY$ とおく。両辺にAを作用させると $AZ=sAX+tAY=sY+tZ$ である。さらに$Z=sX+tY$を代入すると $AZ=sY+t(sX+tY)=tsX+(s+t^2)Y$ である。一方，条件より$AZ=X$である。XとYは平行でないので係数比較ができ，$ts=1,s+t^2=0$ を得る。第2式より$s=-t^2$であり，第1式に代入すると $t(-t^2)=1,-t^3=1,t=-1$ である。したがって$s=-1$である。よって $Z=-X-Y$ であり，

が成り立つ。

(4)

(3)より$Z=-X-Y$である。Zの大きさは1なので $|X+Y{|}^2=|Z{|}^2=1$ である。左辺を内積で展開すると $|X+Y{|}^2=|X{|}^2+2X\cdot Y+|Y{|}^2=1+2X\cdot Y+1$ である。したがって $2+2X\cdot Y=1,X\cdot Y=-\frac{1}{2}$ である。

ここで$X=(1,0{)}^T$なので，$Y=(u,v{)}^T$とおくと $X\cdot Y=u=-\frac{1}{2}$ である。また$|Y|=1$より $u^2+v^2=1$ だから $v^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ である。よって

である。

行列Aの第1列は$AX=Y$によりYである。さらにAは$Y$を$Z=-X-Y$に移す。これは，XからYへ，YからZへ，ZからXへ移す120度回転である。具体的に計算すると，$Y=(-1/2,\sqrt{3}/2{)}^T$のとき

である。また$Y=(-1/2,-\sqrt{3}/2{)}^T$のとき

である。したがって求める行列は

である。

別解。(3)までで$X+Y+Z=0$かつ3つのベクトルの大きさがすべて1であることが分かる。したがって3つの先端は原点を中心とする単位円上で，和が0になるように120度ずつ離れている。Xは正のx軸方向なので，YはXを反時計回りまたは時計回りに120度回転したベクトルである。Aはこの回転を1回行う行列になり，上の2つの行列が得られる。