九州大学 2009年度理系数学第2問解答・解説

問題

$k$ は2以上の自然数とする。「１」と書かれたカードが1枚，「２」と書かれたカードが2枚，…，「ｋ」と書かれたカードが $k$ 枚ある。そのうちの偶数が書かれたカードの枚数を $M$ ，奇数が書かれたカードの枚数を $N$ で表す。この $(M + N)$ 枚のカードをよくきって1枚を取り出し，そこに書かれた数を記録してもとに戻すという操作を $n$ 回繰り返す。記録された $n$ 個の数の和が偶数となる確率を $p_{n}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $p_{1}$ と $p_{2}$ を $M$ ， $N$ で表せ。

(2) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ ， $M$ ， $N$ で表せ。

(3) $\frac{M - N}{M + N}$ を $k$ で表せ。

(4) $p_{n}$ を $n$ と $k$ で表せ。

出典：九州大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

記録された数の和の偶奇だけを見る。偶数カードを引くと偶奇は変わらず，奇数カードを引くと偶奇が反転するので， $p_{n}$ について一次漸化式が立つ。 $M, N$ はkの偶奇で分けて，偶数ラベルのカード総数と奇数ラベルのカード総数を和で計算する。漸化式は $p_{n} - 1/2$ の形に直すと等比数列になる。初期値は0回の和が偶数であることを使うと簡潔である。 $M, N$ はカードの種類数ではなくカード枚数である点を最初に固定する。

解答

(1)

全カード枚数は $M + N$ である。1回だけ取り出すとき，記録された和が偶数になるのは偶数が書かれたカードを引くときである。したがって $p_{1} = \frac{M}{M + N}$ である。

2回取り出すとき，和が偶数になるのは，偶数を2回引く場合，または奇数を2回引く場合である。毎回カードは戻すので各回は同じ確率であり， $p_{2} = \frac{M ^{2} + N ^{2}}{( M + N ) ^{2}}$ である。

(2)

$n$ 回までの和が偶数で， $n + 1$ 回目に偶数カードを引けば，和は偶数のままである。また， $n$ 回までの和が奇数で， $n + 1$ 回目に奇数カードを引けば，和は偶数になる。したがって $p_{n + 1} = \frac{M}{M + N} p_{n} + \frac{N}{M + N} (1 - p_{n})$ である。

(3)

$k$ が偶数の場合， $k = 2 m$ とおく。偶数が書かれたカードの枚数は $M = 2 + 4 + \dots + 2 m = 2 \cdot \frac{m ( m + 1 )}{2} = m (m + 1)$ であり，奇数が書かれたカードの枚数は $N = 1 + 3 + \dots + (2 m - 1) = m^{2}$ である。よって

\frac{M - N}{M + N} = \frac{m}{m ( m + 1 ) + m ^{2}} = \frac{1}{2 m + 1} = \frac{1}{k + 1}

である。 $k$ が奇数の場合， $k = 2 m - 1$ とおく。偶数が書かれたカードの枚数は $M = 2 + 4 + \dots + 2 (m - 1) = m (m - 1)$ であり，奇数が書かれたカードの枚数は $N = 1 + 3 + \dots + (2 m - 1) = m^{2}$ である。したがって

\frac{M - N}{M + N} = \frac{- m}{m ( m - 1 ) + m ^{2}} = \frac{- 1}{2 m - 1} = - \frac{1}{k}

である。

(4)

(2)を整理すると

p_{n + 1} = \frac{N}{M + N} + \frac{M - N}{M + N} p_{n}

である。両辺から $1/2$ を引くと

p_{n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{M - N}{M + N} (p_{n} - \frac{1}{2})

となる。

0回の記録では和は0で偶数だから， $p_{0} = 1$ と考えることができる。したがって $p_{0} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ であり， $p_{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\frac{M - N}{M + N})^{n}$ である。よって $p_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{M - N}{M + N})^{n}$ である。

(3)の結果を代入して

p_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{k + 1})^{n} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{k})^{n} (k が偶数), (k が奇数)

である。

九州大学 2009年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2009年度
理系数学第2問