九州大学 2009年度
理系数学 第3問

解答

(1)

曲線$C_1:y=x^2/2$の導関数は$y^{\prime }=x$である。したがって$x=u$の点における接線の傾きは$u$，法線の傾きは$-1/u$である。ただし$u=0$の場合も，以下の式は極限的に同じ形で扱える。

点$(u,u^2/2)$を通る法線は $y-\frac{u^2}{2}=-\frac{1}{u}(x-u)$ であり，両辺に$u$を掛けて整理すると $x+uy=u+\frac{u^3}{2}$ である。

したがって，Pにおける法線とQにおける法線は $x+ay=a+\frac{a^3}{2},x+by=b+\frac{b^3}{2}$ である。これらを引き算すると $(a-b)y=(a-b)+\frac{a^3-b^3}{2}$ であり，$a\ne b$より $y=1+\frac{a^2+ab+b^2}{2}$ である。これを$x+ay=a+a^3/2$に代入すると

である。よって $R=\left(-\frac{ab(a+b)}{2},\frac{a^2+ab+b^2+2}{2}\right)$ である。

ここで$b\to a$とすると $R\to \left(-a^3,\frac{3a^2+2}{2}\right)=\left(-a^3,\frac{3}{2}{a}^2+1\right)$ である。したがって $\boxed{A=\left(-a^3,\frac{3}{2}{a}^2+1\right)}$ である。

(2)

(1)より，軌跡$C_2$は $x=-a^3,y=1+\frac{3}{2}{a}^2$ で表される。$a$と$-a$でx座標は符号が逆になり，y座標は同じなので，$C_2$はy軸に関して対称である。また$a=0$のとき頂点は$(0,1)$である。 $x=-a^3$より$a^2=|x{|}^{2/3}$だから，$C_2$は $y=1+\frac{3}{2}|x{|}^{2/3}$ と書ける。$C_1:y=x^2/2$との交点では $\frac{x^2}{2}=1+\frac{3}{2}|x{|}^{2/3}$ である。$u=|x{|}^{2/3}$とおくと，$x^2=u^3$であるから $\frac{u^3}{2}=1+\frac{3}{2}u$ すなわち $u^3-3u-2=0$ である。これは $u^3-3u-2=(u-2)(u+1{)}^2$ と因数分解できる。$u\geqq 0$より$u=2$である。したがって $|x{|}^{2/3}=2,x^2=2^3=8$ なので $x=\pm 2\sqrt{2}$ である。このとき$y=x^2/2=4$だから，交点は $\boxed{(2\sqrt{2},4),(-2\sqrt{2},4)}$ である。

概形として，$C_1$は原点を頂点とする上に開いた放物線であり，$C_2$は$(0,1)$を頂点としてy軸対称に左右へ伸びる曲線である。2曲線は上の2点で交わり，その間では$C_2$が$C_1$の上側にある。

(3)

面積はy軸対称であるから，右半分を2倍すればよい。$0\leqq x\leqq 2\sqrt{2}$では$C_2$が上，$C_1$が下なので $S=2{\int }_0^{2\sqrt{2}}\left(1+\frac{3}{2}{x}^{2/3}-\frac{x^2}{2}\right)dx$ である。計算すると

である。したがって $S=2\cdot \frac{44\sqrt{2}}{15}=\boxed{\frac{88\sqrt{2}}{15}}$ である。