九州大学 2009年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標平面に3点 $O (0, 0)$ ， $A (2, 6)$ ， $B (3, 4)$ をとり，点 $O$ から直線 $A B$ に垂線 $O C$ を下ろす。また，実数 $s$ と $t$ に対し，点 $P$ を $O P = s O A + t O B$ で定める。このとき，次の問いに答えよ。

(1) 点 $C$ の座標を求め， $∣ C P ∣^{2}$ を $s$ と $t$ を用いて表せ。

(2) $s$ を定数として， $t$ を $t ≧ 0$ の範囲で動かすとき， $∣ C P ∣^{2}$ の最小値を求めよ。

出典：九州大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は文系第2問と同じく，直線AB上の垂線の足Cを内積で求め，Pの座標から $∣ C P ∣^{2}$ を展開する。(2)はsを定数と見て，tについての二次関数を平方完成する。頂点 $t = (4 - 6 s) /5$ が条件 $t ≧ 0$ を満たすかどうかで， $s ≦ 2/3$ と $s ≧ 2/3$ に分ける。境界で2つの式が一致することも確認する。最後に境界 $s = 2/3$ で2つの式が一致することを確認し，場合分けの抜けを防ぐ。

解答

(1)

直線ABの方向ベクトルは $A B = (1, - 2)$ である。直線AB上の点Cを $C = A + u A B = (2 + u, 6 - 2 u)$ とおく。 $O C ⊥ A B$ より $(2 + u, 6 - 2 u) \cdot (1, - 2) = 0$ であるから $2 + u - 12 + 4 u = 0, 5 u = 10, u = 2$ である。したがって $C = (4, 2)$ である。

また $O P = s (2, 6) + t (3, 4) = (2 s + 3 t, 6 s + 4 t)$ なので $P = (2 s + 3 t, 6 s + 4 t)$ である。したがって $C P = (2 s + 3 t - 4, 6 s + 4 t - 2)$ であり，

∣ C P ∣^{2} = (2 s + 3 t - 4)^{2} + (6 s + 4 t - 2)^{2} = 40 s^{2} + 60 s t - 40 s + 25 t^{2} - 40 t + 20

である。よって $∣ C P ∣^{2} = 40 s^{2} + 60 s t - 40 s + 25 t^{2} - 40 t + 20$ である。

(2)

sを定数として， $∣ C P ∣^{2}$ をtの二次関数と見る。整理すると $∣ C P ∣^{2} = 25 t^{2} + (60 s - 40) t + 40 s^{2} - 40 s + 20$ である。頂点のt座標は $t = - \frac{60 s - 40}{2 \cdot 25} = \frac{4 - 6 s}{5}$ である。

まず $\frac{4 - 6 s}{5} ≧ 0$ すなわち $s ≦ 2/3$ のとき，頂点は条件 $t ≧ 0$ の範囲内にある。このとき最小値は

40 s^{2} - 40 s + 20 - \frac{( 60 s - 40 ) ^{2}}{4 \cdot 25} = 40 s^{2} - 40 s + 20 - (36 s^{2} - 48 s + 16) = 4 s^{2} + 8 s + 4 = 4 (s + 1)^{2}

である。

次に $s ≧ 2/3$ のとき，頂点は $t < 0$ 側にある。したがって $t ≧ 0$ では端点 $t = 0$ で最小となり，最小値は $40 s^{2} - 40 s + 20$ である。

よって求める最小値は

{4 (s + 1)^{2} 40 s^{2} - 40 s + 20 (s ≦ \frac{2}{3}), (s ≧ \frac{2}{3})

である。境界 $s = 2/3$ ではどちらも $100/9$ となり，一致している。

九州大学 2009年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2009年度
理系数学第1問