問題
いくつかの半径3の円を，半径2の円に外接し，かつ，互いに交わらないように配置する。このとき，次の問いに答えよ。
(1) 半径3の円の1つをとする。円の中心を端点とし，円に接する2本の半直線のなす角をとおく。ただし，とする。このとき，を求めよ。
(2) を示せ。
(3) 配置できる半径3の円の最大個数を求めよ。
方針
円 の中心から半径3の円 の中心までの距離は外接より5である。中心から引いた接線と半径は直交するので，角 の半分を含む直角三角形で を得る。(3)では半径3の円の中心が半径5の円周上に並び，隣り合う中心角が少なくとも 必要であることを使い， 個が不可能で 個が可能であることをそれぞれ示す。
解答
(1)
円 の中心を ，円 の中心を とする。2円は外接し，半径がそれぞれ2と3なので である。点 から円 に引いた接線の接点を とすると， であり， である。
2本の接線は に関して対称なので， である。直角三角形 より である。したがって
である。
(2)
(1)より
である。 だから である。
また であり，余弦は で減少するので である。よって が示された。
(3)
配置された半径3の円の中心は，すべて の中心 から距離5の円周上にある。隣り合う2つの半径3の円が交わらないためには，それらの中心間距離が少なくとも6でなければならない。
中心角を とすると，中心間距離は である。したがって すなわち である。 では正弦が増加する範囲で考えればよいので，隣り合う中心角は少なくとも である。
ここで であり， である。余弦は で減少するから である。もし5個配置できるなら，中心角の合計が である一周の中に，少なくとも が必要となり矛盾する。したがって5個以上は配置できない。
一方，4個なら中心を のまわりに90度ずつ離して置けばよい。このとき隣り合う中心角は であり，(2)より だから中心間距離は6より大きく，円どうしは交わらない。よって最大個数は である。