九州大学 2008年度理系数学第2問解答・解説

問題

1から10までの番号が1つずつ書かれた10枚のカードがある。 $k$ を2から9までの整数の1つとする。よくきった10枚のカードから1枚を抜き取り，そのカードの番号が $k$ より大きいなら，抜き取ったカードの番号を得点とする。抜き取ったカードの番号が $k$ 以下なら，そのカードを戻さずに，残りの9枚の中から1枚を抜き取り，2回目に抜き取ったカードの番号を得点とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) 得点が1である確率と10である確率をそれぞれ求めよ。

(2) 2以上9以下の整数 $n$ に対して，得点が $n$ である確率を求めよ。

(3) 得点の期待値を求めよ。

出典：九州大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

得点が1回目で確定するのは，最初のカードが $k$ より大きい場合だけである。得点 $n$ が $k$ 以下なら1回目に $n$ 以外の $k$ 以下を引いてから2回目に $n$ を引く場合だけ， $n > k$ なら1回目に $n$ を引く場合と2回目に $n$ を引く場合の和である。期待値はこの分布を用いて和を取るか，1回目のカードで条件付き期待値に分けて確認する。

解答

(1)

得点が1になるには，1回目に1以外の $k$ 以下のカードを引き，そのカードを戻さずに2回目に1を引く必要がある。1回目の選び方は $2, 3, \dots, k$ の $k - 1$ 通りなので $P (1) = \frac{k - 1}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{k - 1}{90}$ である。

得点が10になるのは，1回目に10を引く場合，または1回目に $k$ 以下のカードを引いて2回目に10を引く場合である。したがって $P (10) = \frac{1}{10} + \frac{k}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{k + 9}{90}$ である。

(2)

$2 ≦ n ≦ k$ のとき， $n$ は1回目では得点にならない。得点が $n$ になるには，1回目に $k$ 以下で $n$ 以外のカードを引き，2回目に $n$ を引く必要がある。よって $P (n) = \frac{k - 1}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{k - 1}{90} (2 ≦ n ≦ k)$ である。 $k < n ≦ 9$ のときは，1回目に $n$ を引く場合と，1回目に $k$ 以下を引いて2回目に $n$ を引く場合があるので

P (n) = \frac{1}{10} + \frac{k}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{k + 9}{90} (k < n ≦ 9)

である。

(3)

(1)(2)をまとめると， $1 ≦ n ≦ k$ では $P (n) = (k - 1) /90$ ， $k + 1 ≦ n ≦ 10$ では $P (n) = (k + 9) /90$ である。したがって期待値 $E$ は

E = n = 1 \sum k n \frac{k - 1}{90} + n = k + 1 \sum 10 n \frac{k + 9}{90} = \frac{k - 1}{90} \cdot \frac{k ( k + 1 )}{2} + \frac{k + 9}{90} (55 - \frac{k ( k + 1 )}{2}) = \frac{- k ^{2} + 10 k + 99}{18}

である。

別解。期待値だけなら，1回目のカードを $j$ として条件付きに分けてもよい。 $j > k$ なら得点は $j$ ， $j ≦ k$ なら残り9枚の平均は $(55 - j) /9$ であるから

E = \frac{1}{10} j = k + 1 \sum 10 j + \frac{1}{10} j = 1 \sum k \frac{55 - j}{9} = \frac{- k ^{2} + 10 k + 99}{18}

となり，同じ結果を得る。

九州大学 2008年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2008年度
理系数学第2問