九州大学 2008年度理系数学第1問解答・解説

問題

$f (x) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ とおく。ただし， $e$ は自然対数の底とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) $y = f (x)$ の増減，凹凸，漸近線を調べ，グラフをかけ。

(2) $f (x)$ の逆関数 $f^{- 1} (x)$ を求めよ。

(3) $n \to \infty lim n {f^{- 1} (\frac{1}{n + 2}) - f^{- 1} (\frac{1}{n + 1})}$ を求めよ。

出典：九州大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

まず $f^{'} (x)$ ， $f^{''} (x)$ を計算して，単調性・凹凸・変曲点・水平漸近線を整理する。逆関数は $y = e^{x} / (e^{x} + 1)$ から $e^{x} = y / (1 - y)$ を解けばよい。最後の極限は逆関数の式に具体的な分数を代入し， $n lo g (1 + 1/ n) \to 1$ に帰着させる。

解答

(1)

$f (x) = e^{x} / (e^{x} + 1)$ とおくと

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( e ^{x} + 1 ) - e ^{x} \cdot e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} = \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} > 0

である。したがって $f$ は全実数で単調増加する。

さらに $f^{''} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - e ^{x} )}{( e ^{x} + 1 ) ^{3}}$ である。よって $x < 0$ では $f^{''} (x) > 0$ ， $x > 0$ では $f^{''} (x) < 0$ であり， $x = 0$ で凹凸が変わる。変曲点は $(0, \frac{1}{2})$ である。

また $lim_{x \to - \infty} f (x) = 0, lim_{x \to \infty} f (x) = 1$ なので，水平漸近線は $y = 0, y = 1$ である。以上をもとに， $y = 0$ と $y = 1$ の間で単調増加し， $(0, 1/2)$ で凹凸が変わるS字型のグラフをかけばよい。

(2)

$y = f (x)$ とおくと $y = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ である。 $0 < y < 1$ に注意して変形すると $y (e^{x} + 1) = e^{x}, y = e^{x} (1 - y)$ より $e^{x} = \frac{y}{1 - y}$ である。したがって $f^{- 1} (y) = lo g \frac{y}{1 - y} (0 < y < 1)$ である。変数名を $x$ に戻せば $f^{- 1} (x) = lo g \frac{x}{1 - x} (0 < x < 1)$ である。

(3)

(2)より

f^{- 1} (\frac{1}{n + 2}) = lo g \frac{1/ ( n + 2 )}{1 - 1/ ( n + 2 )} = lo g \frac{1}{n + 1} = - lo g (n + 1)

であり，

f^{- 1} (\frac{1}{n + 1}) = lo g \frac{1/ ( n + 1 )}{1 - 1/ ( n + 1 )} = lo g \frac{1}{n} = - lo g n

である。したがって与式は $n {- lo g (n + 1) + lo g n} = - n lo g (1 + \frac{1}{n})$ となる。 $lim_{n \to \infty} (1 + 1/ n)^{n} = e$ より $lim_{n \to \infty} n lo g (1 + \frac{1}{n}) = 1$ であるから，求める極限は $- 1$ である。

九州大学 2008年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2008年度
理系数学第1問