九州大学 2008年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a > 0$ に対して， $f (x) = a + lo g x$ $(x > 0)$ ， $g (x) = x - 1$ $(x ≧ 1)$ とおく。2曲線 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ が，ある点 $P$ を共有し，その点で共通の接線 $l$ を持つとする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) $a$ の値，点 $P$ の座標，および接線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 2曲線は点 $P$ 以外の共有点を持たないことを示せ。

(3) 2曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：九州大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

共通接線を持つ共有点では，関数値と導関数の値が同時に一致する。共有点の $x$ 座標を $s$ とおき， $1/ s = 1/ (2 s - 1)$ から $s = 2$ を得る。(2)は差 $h (x) = f (x) - g (x)$ を作り， $u = x - 1$ と置いて $h^{'} (x) ≦ 0$ を明示する。(3)は $f$ と $g$ の $x$ 軸との交点を確認し，区間 $[2/ e, 1]$ ， $[1, 2]$ に分けて面積を積分する。

解答

(1)

共有点の $x$ 座標を $s$ とする。 $g (x) = x - 1$ より $s > 1$ である。共通接線を持つので $f^{'} (s) = g^{'} (s)$ すなわち $\frac{1}{s} = \frac{1}{2 s - 1}$ である。よって $s = 2 s - 1$ であり，両辺を2乗して $s^{2} = 4 s - 4, (s - 2)^{2} = 0$ を得る。したがって $s = 2$ で， $g (2) = 1$ だから共有点は $P = (2, 1)$ である。また $f (2) = 1$ より $a + lo g 2 = 1$ なので $a = 1 - lo g 2$ である。接線の傾きは $f^{'} (2) = 1/2$ だから，接線は $y - 1 = \frac{1}{2} (x - 2)$ すなわち $y = \frac{1}{2} x$ である。

(2)

$a = 1 - lo g 2$ として $h (x) = f (x) - g (x) = 1 - lo g 2 + lo g x - x - 1$ とおく。 $x > 1$ で微分すると $h^{'} (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x - 1}$ である。ここで $u = x - 1$ とおくと $x = u^{2} + 1$ であり，

h^{'} (x) = \frac{1}{u ^{2} + 1} - \frac{1}{2 u} = \frac{2 u - ( u ^{2} + 1 )}{2 u ( u ^{2} + 1 )} = - \frac{( u - 1 ) ^{2}}{2 u ( u ^{2} + 1 )} ≦ 0

となる。等号は $u = 1$ ，すなわち $x = 2$ のときだけである。

したがって $h$ は $x = 2$ を除いて減少し， $h (2) = 0$ であるから， $1 ≦ x < 2$ では $h (x) > 0$ ， $x > 2$ では $h (x) < 0$ となる。よって2曲線の共有点は $P$ 以外に存在しない。

(3)

$f (x) = 0$ となるのは $1 - lo g 2 + lo g x = 0$ より $x = \frac{2}{e}$ である。また $g (x) = 0$ となるのは $x = 1$ である。(2)より $1 ≦ x ≦ 2$ では $f (x) ≧ g (x)$ である。

したがって求める面積 $S$ は $S = \int_{2/ e}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} {f (x) - g (x)} d x$ である。これは $S = \int_{2/ e}^{2} f (x) d x - \int_{1}^{2} g (x) d x$ とまとめられる。

まず $\int f (x) d x = \int (1 - lo g 2 + lo g x) d x = x lo g \frac{x}{2}$ であるから

\int_{2/ e}^{2} f (x) d x = [x lo g \frac{x}{2}]_{2/ e}^{2} = 0 - \frac{2}{e} lo g \frac{1}{e} = \frac{2}{e}

である。また $\int_{1}^{2} x - 1 d x = [\frac{2}{3} (x - 1)^{3/2}]_{1}^{2} = \frac{2}{3}$ である。よって $S = \frac{2}{e} - \frac{2}{3}$ である。

九州大学 2008年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2008年度
理系数学第4問