問題
において，辺上に点をとり，直線上に点をとる。ただし、点は点に関して点と反対側にあるとする。3つの三角形，，の面積をそれぞれ，，とする。このとき，次の問いに答えよ。
(1) を，および，を用いて表せ。
(2) を，および，，を用いて表せ。
(3) 3辺，，の長さはそれぞれ3，5，6であるとする。点を中心とし，3直線，，に接する円が存在するとき，をとを用いて表せ。
出典：九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
は 上で の外側にあるので，面積比からまず を読む。これにより の位置ベクトルが内分公式で出る。次に を とおくと，， となるため， と分かる。(3)は3直線への距離が等しいことを，面積が辺の長さに比例することへ変換する。
解答
(1)
直線 を基準に見ると， と は同じ底辺 を持ち，高さはそれぞれ点 ， から直線 への距離である。点 は 上にあるので，これらの距離の比は に等しい。したがって である。
よって内分公式より
である。
(2)
とおく。点 は に関して と反対側にあるので である。 の面積を とする。 を 方向に 倍した位置に取ると， と の面積の和は である。一方， から直線 への距離は， から への距離の 倍なので である。したがって であり， となる。ゆえに(1)より
である。
(3)
点 を中心とし，3直線 に接する円が存在するなら， からこれら3直線への距離はすべて等しい。その共通の距離を とする。
各三角形の面積は，対応する辺を底辺とすると
である。 より である。これを(2)に代入すると
である。