問題
平面上の双曲線 と円 について，以下の問いに答えよ。
(1) 双曲線と円が接するとき，をとで表せ。
(2) 双曲線と円の共有点の個数が，0個，1個，2個，3個，4個のそれぞれの場合にの取り得る範囲をとで表せ。
(3) のとき，共有点が2個になる範囲を平面上で図示せよ。
方針
とおき，円の方程式に双曲線から得られる を代入して，交点の 座標を直接求める。得られる2つの候補 ， が双曲線上で実際に点を与えるには が必要で，等号なら1点，不等号なら左右対称に2点である。この判定で接する半径と共有点数を分類し，最後は を代入して平方できる条件を注意して整理する。
解答
(1)
とおく。双曲線は であるから，交点では である。これを円 に代入すると すなわち となる。これを解くと である。
双曲線上の点が存在するには が必要で，等号のときは の1点になる。上側の候補 が に等しくなるのは のときであり，下側の候補 が に等しくなるのは のときである。したがって接するときの は である。
(2)
(1)の判定をそのまま用いる。 では2つの候補のいずれも を満たさないので共有点はない。 では上側頂点で1点だけ共有する。 では上側の候補だけが となり，左右対称な2点を共有する。 では上側の2点に加えて下側頂点で接するため3点である。 では上下それぞれで左右対称な2点を持つので4点である。
よって， として
である。
(3)
共有点が2個である条件は である。
左側の不等式は であり，右辺は正なので平方してよい。よって すなわち である。
右側の不等式は である。 なら左辺は0以下なので自動的に成り立つ。 のときは両辺が正なので平方して すなわち を得る。
したがって図示すべき範囲は， のもとで を満たし，さらに では を満たす部分である。実際の図では，上側境界 の下側を取り， に現れる下側境界 の下側を除く。境界上は共有点数が1個または3個になるため含まない。