問題
行列，，をそれぞれ，，と定める。ここでは実数とする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) がを満たすとき，とが満たすべき条件を求めよ。
(2) 行列の表す移動が原点を通る直線に関する対称移動であるようなの値と，その直線を求めよ。
(3) を満たす実数をとを用いて表せ。ただしは自然数とする。
出典：九州大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
まず を直接計算しておく。 は直線 方向を0倍し，その垂直方向 を5倍するので， はそれぞれを1倍， 倍する変換になる。対称移動の条件は固定直線上をそのままにし，垂直方向を 倍することであり， は から係数の漸化式で求める。
解答
(1)
は すなわち と同値である。 のときは なので任意の が条件を満たす。 のときは である。成分で書くと
だから である。
(2)
(1)より， のとき直線 上の点は によって動かない。また
であるから，直線 に垂直な方向 は により 倍される。
原点を通る直線に関する対称移動では，その直線上の成分はそのまま，垂直方向の成分は符号が反対になる。したがって でなければならない。よって であり，対称軸は である。
(3)
まず
である。 とおくと， であり， だから である。この式は と変形できる。 より となるので である。