九州大学 2008年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

平面上の点 $A$ ， $B$ ， $C$ の座標をそれぞれ $(0, a)$ ， $(b, 0)$ ， $(c, 0)$ とする。ただし $a > 0$ ， $b < 0$ ， $c > 0$ とする。このとき以下の問いに答えよ。

(1) 三角形 $B C H$ の垂心が点 $A$ となるような点 $H$ の座標を求めよ。

(2) 線分 $H A$ の中点を $M$ ，線分 $B C$ の中点を $P$ ，線分 $B H$ の中点を $Q$ とする。 $∠ P QM = 90^{\circ}$ であることを示せ。

(3) 点 $P$ ， $Q$ ， $M$ を通る円の中心 $N$ の座標を求めよ。

(4) 点 $P$ ， $Q$ ， $M$ を通る円は，線分 $A B$ の中点 $R$ および原点も通ることを示せ。

出典：九州大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$B C$ が $x$ 軸上にあるので，垂心条件から $A H$ は $y$ 軸方向となり， $H = (0, h)$ とおける。残る垂直条件で $h$ を決めた後，中点 $P, Q, M$ の座標を出す。(2)は内積で直角を確認し，(3)(4)は直径 $P M$ の円に乗る条件 $(X - P) \cdot (X - M) = 0$ で処理する。

解答

(1)

$B C$ は $x$ 軸上の線分なので， $B C ⊥ A H$ より $H$ は $y$ 軸上にある。そこで $H = (0, h)$ とおく。さらに $B A ⊥ C H$ であるから，傾きの積を用いて $\frac{a}{0 - b} \cdot \frac{h}{0 - c} = - 1$ すなわち $(- \frac{a}{b}) (- \frac{h}{c}) = - 1$ である。よって $h = - \frac{b c}{a}$ となり， $H = (0, - \frac{b c}{a})$ である。実際，この値に対して $C A ⊥ B H$ も成り立つ。

(2)

各中点は

P = (\frac{b + c}{2}, 0), Q = (\frac{b}{2}, - \frac{b c}{2 a}), M = (0, \frac{a ^{2} - b c}{2 a})

である。したがって

QP = (\frac{c}{2}, \frac{b c}{2 a}), QM = (- \frac{b}{2}, \frac{a}{2})

となる。内積を計算すると

QP \cdot QM = \frac{c}{2} (- \frac{b}{2}) + \frac{b c}{2 a} \cdot \frac{a}{2} = - \frac{b c}{4} + \frac{b c}{4} = 0

であるから， $∠ P QM = 9 0^{\circ}$ である。

(3)

(2)より $△ P QM$ は $Q$ を直角とする直角三角形である。したがって $P, Q, M$ を通る円の中心は斜辺 $P M$ の中点である。よって $N = \frac{P + M}{2} = (\frac{b + c}{4}, \frac{a ^{2} - b c}{4 a})$ である。

(4)

円は $P M$ を直径とする円であるから，点 $X$ がこの円上にあることは $(X - P) \cdot (X - M) = 0$ と同値である。

まず原点 $O = (0, 0)$ については， $P$ の $y$ 座標が0， $M$ の $x$ 座標が0なので $(O - P) \cdot (O - M) = P \cdot M = 0$ であり，原点は円上にある。

次に $R$ は $A B$ の中点だから $R = (\frac{b}{2}, \frac{a}{2})$ である。よって

R - P = (- \frac{c}{2}, \frac{a}{2}), R - M = (\frac{b}{2}, \frac{b c}{2 a})

となり， $(R - P) \cdot (R - M) = - \frac{b c}{4} + \frac{b c}{4} = 0$ である。したがって $R$ も同じ円上にある。

九州大学 2008年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2008年度
後期・理系数学後期第1問