九州大学 2007年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$|\sin x|$ のグラフは，$y=\sin x$ のうち $x$ 軸より下にある部分を，$x$ 軸に関して上側へ折り返したものである。したがって $|\sin (x+\pi )|=|-\sin x|=|\sin x|$ であるから，$\pi$ は周期である。

一方，$0<p<\pi$ が周期であるとすると，$x=0$ から $|\sin p|=|\sin 0|=0$ となる。しかし $0<p<\pi$ では $\sin pe0$ であるから矛盾する。よって基本周期は $\boxed{\pi }$ である。

(2)

$f(x)=|\sin mx|\sin nx$ とおく。$|\sin mx|$ は偶関数で，$\sin nx$ は奇関数であるから $f(-x)=-f(x)$ である。すなわち $f$ は奇関数である。

いま $p$ が $f$ の周期であるとする。このとき

である。一方，奇関数性より $f\left(-\frac{p}{2}\right)=-f\left(\frac{p}{2}\right)$ である。したがって $f\left(\frac{p}{2}\right)=-f\left(\frac{p}{2}\right)$ となり，$f\left(\frac{p}{2}\right)=0$ である。さらに奇関数性から $f\left(-\frac{p}{2}\right)=0$ も成り立つ。

次に，周期条件から $mp$，$np$ の条件を導く。$f(p/2)=0$ より $|\sin \frac{mp}{2}|\sin \frac{np}{2}=0$ である。したがって $\sin \frac{mp}{2}=0\text{または}\sin \frac{np}{2}=0$ である。

ここで，$p$ が周期なので，$f(x+p)=f(x)$ がすべての $x$ で成り立つ。もし $\sin \frac{mp}{2}=0$ なら $mp\text{ は }2\pi \text{ の整数倍}$ であり，このとき $|\sin m(x+p)|=|\sin mx|$ が成り立つ。したがって積全体が常に同じになるためには $\sin n(x+p)=\sin nx$ がすべての $x$ で成り立たなければならず，$np\text{ は }2\pi \text{ の整数倍}$ である。

もし $\sin \frac{np}{2}=0$ なら $np\text{ は }2\pi \text{ の整数倍}$ であり，$\sin n(x+p)=\sin nx$ が成り立つ。このとき周期性から残る因子も $|\sin m(x+p)|=|\sin mx|$ を満たす必要があるので $mp\text{ は }\pi \text{ の整数倍}$ である。

以上より，いずれの場合にも

である。

(3)

$m$ と $n$ は1以外の公約数をもたないとする。(2)より，周期 $p>0$ は $mp=r\pi ,np=2s\pi$ を満たす。ただし $r,s$ は整数である。これより $p=\frac{r\pi }{m}=\frac{2s\pi }{n}$ だから $rn=2sm$ である。$m$ と $n$ は互いに素なので，$m$ は $r$ を割り切る。よって $r=mk$ と書け，$p=k\pi$ となる。

さらに $np=nk\pi$ が $2\pi$ の整数倍でなければならないので，$nk$ は偶数である。 $n$ が偶数のとき，$k=1$ でこの条件を満たす。このとき $p=\pi$ であり，実際に $|\sin m(x+\pi )|=|(-1{)}^m\sin mx|=|\sin mx|$ かつ $\sin n(x+\pi )=(-1{)}^n\sin nx=\sin nx$ となるので周期である。したがって基本周期は $\pi$ である。 $n$ が奇数のとき，$nk$ が偶数となるには $k$ が偶数でなければならない。最小の正の $k$ は2なので $p=2\pi$ である。これは明らかに周期である。したがって基本周期は $2\pi$ である。

以上より

である。