九州大学 2007年度理系数学第3問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を正の数とし，空間内の3点 $A (a, - a, b)$ ， $B (- a, a, b)$ ， $C (a, a, - b)$ を考える． $A$ ， $B$ ， $C$ を通る平面を $α$ ，原点 $O$ を中心とし $A$ ， $B$ ， $C$ を通る球面を $S$ とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1) 線分 $A B$ の中点を $D$ とするとき， $D C ⊥ A B$ および $D O ⊥ A B$ であることを示せ．また $△ A B C$ の面積を求めよ．

(2) ベクトル $D C$ と $D O$ のなす角を $θ$ とするとき $sin θ$ を求めよ．また，平面 $α$ に垂直で原点 $O$ を通る直線と平面 $α$ との交点を $H$ とするとき，線分 $O H$ の長さを求めよ．

(3) 点 $P$ が球面 $S$ 上を動くとき，四面体 $A B C P$ の体積の最大値を求めよ．ただし， $P$ は平面 $α$ 上にはないものとする．

出典：九州大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)は中点 $D$ の座標を出し， $A B, D C, D O$ の成分を並べて内積で直交を示す。面積は $A B ⊥ D C$ を利用して $\frac{1}{2} ∣ A B ∣∣ D C ∣$ とする。(2)は $D C$ と $D O$ の内積から $cos θ$ を出し， $sin θ$ を求める。 $O H$ は平面 $A B C$ への原点からの距離であり， $A B$ に垂直な断面三角形 $O D C$ の高さとして $D O sin θ$ で求まる。(3)は球の半径と中心 $O$ から平面 $α$ までの距離 $O H$ を使い，球面上の点から平面までの最大距離が $R + O H$ になることから体積最大を出す。

解答

(1)

線分 $A B$ の中点は $D = (\frac{a - a}{2}, \frac{- a + a}{2}, \frac{b + b}{2}) = (0, 0, b)$ である。したがって $A B = B - A = (- 2 a, 2 a, 0)$ であり，

D C = C - D = (a, a, - 2 b), D O = O - D = (0, 0, - b)

である。

内積を計算すると $A B \cdot D C = (- 2 a) a + (2 a) a + 0 = 0$ であり，また $A B \cdot D O = 0$ である。よって

D C ⊥ A B, D O ⊥ A B

である。

さらに

A B = 22 a, D C = a^{2} + a^{2} + 4 b^{2} = 2 a^{2} + 4 b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

である。 $A B ⊥ D C$ より， $D C$ は $A$ から $B C$ への高さでもある。したがって

[A B C] = \frac{1}{2} A B \cdot D C = \frac{1}{2} \cdot 22 a \cdot 2 a^{2} + 2 b^{2} = 2 a a^{2} + 2 b^{2}

である。

(2)

D C \cdot D O = (a, a, - 2 b) \cdot (0, 0, - b) = 2 b^{2}

である。また $∣ D C ∣ = 2 a^{2} + 2 b^{2}, ∣ D O ∣ = b$ なので

cos θ = \frac{2 b ^{2}}{b 2 a ^{2} + 2 b ^{2}} = \frac{2 b}{a ^{2} + 2 b ^{2}}

である。したがって $sin^{2} θ = 1 - \frac{2 b ^{2}}{a ^{2} + 2 b ^{2}} = \frac{a ^{2}}{a ^{2} + 2 b ^{2}}$ であり， $a > 0$ だから $sin θ = \frac{a}{a ^{2} + 2 b ^{2}}$ である。

次に $O H$ を求める。 $A B$ は $D C$ と $D O$ の両方に垂直なので，点 $O, D, C$ を含む平面は $A B$ に垂直である。この断面で見ると，平面 $α$ と断面の交線は直線 $D C$ であり， $O H$ は点 $O$ から直線 $D C$ に下ろした高さである。したがって三角形 $O D C$ において

O H = D O sin h e t a = b \cdot \frac{a}{a ^{2} + 2 b ^{2}} = \frac{ab}{a ^{2} + 2 b ^{2}}

である。

(3)

球面 $S$ の半径は $O A = a^{2} + a^{2} + b^{2} = 2 a^{2} + b^{2}$ である。この半径を $R$ と書くと $R = 2 a^{2} + b^{2}$ である。

四面体 $A B C P$ の底面を $A B C$ とすると，体積は $\frac{1}{3} [A B C] \times (P から平面 α までの距離)$ である。球の中心 $O$ から平面 $α$ までの距離は $O H$ であるから，球面上の点 $P$ から平面 $α$ までの距離の最大値は， $O$ から平面 $α$ と反対側の法線方向に半径だけ進んだ点で $R + O H$ となる。

したがって体積の最大値は

V_{m a x} = \frac{1}{3} \cdot 2 a a^{2} + 2 b^{2} (2 a^{2} + b^{2} + \frac{ab}{a ^{2} + 2 b ^{2}}) = \frac{2 a}{3} {(a^{2} + 2 b^{2}) (2 a^{2} + b^{2}) + ab}

である。

九州大学 2007年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2007年度
理系数学第3問