九州大学 2007年度理系数学第1問解答・解説

問題

$f (x) = x e^{x}$ とおく．また $p$ を $p ≧ 0$ を満たす数とし，曲線 $y = f (x)$ 上の点 $P (p, f (p))$ における接線の方程式を $y = g (x)$ とおく．ただし， $e$ は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1) $x ≧ 0$ において $f (x) ≧ g (x)$ が成り立つことを示せ．

(2) $L$ を正の数とする．曲線 $y = f (x)$ ，接線 $y = g (x)$ ，および2直線 $x = 0$ ， $x = L$ で囲まれた部分の面積を $S (p)$ とするとき， $p ≧ 0$ における $S (p)$ の最小値を与える $p$ の値を求めよ．

出典：九州大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

接線 $g (x)$ を明示し， $h (x) = f (x) - g (x)$ を考える。 $f^{''} (x) = (x + 2) e^{x} > 0$ なので $h$ は $x = p$ で最小となり， $h (p) = 0$ から $f (x) ≧ g (x)$ を示す。(2)は(1)により面積が $\int_{0}^{L} (f - g) d x$ と書ける。 $p$ に関する最小化では，積分後の式をすべて展開するより， $g (x) = e^{p} {(p + 1) x - p^{2}}$ を $p$ で微分して $S^{'} (p)$ の符号を見る。

解答

(1)

$f (x) = x e^{x}$ より $f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}, f^{''} (x) = (x + 2) e^{x}$ である。 $x ≧ 0$ では $f^{''} (x) > 0$ である。

点 $P (p, f (p))$ における接線を $y = g (x)$ とし， $h (x) = f (x) - g (x)$ とおく。接線の性質より $h (p) = 0, h^{'} (p) = 0$ である。また $h^{''} (x) = f^{''} (x) = (x + 2) e^{x} > 0$ であるから， $h^{'} (x)$ は $x ≧ 0$ で単調に増加する。したがって $x < p では h^{'} (x) < 0, x > p では h^{'} (x) > 0$ であり， $h (x)$ は $x = p$ で最小値をとる。その最小値は $h (p) = 0$ である。よって $h (x) ≧ 0$ すなわち $f (x) ≧ g (x) (x ≧ 0)$ が成り立つ。

(2)

接線の方程式は

g (x) = f (p) + f^{'} (p) (x - p) = p e^{p} + (p + 1) e^{p} (x - p) = e^{p} {(p + 1) x - p^{2}}

である。(1)より，面積は $S (p) = \int_{0}^{L} {f (x) - g (x)} d x$ である。 $p$ で微分する。 $f (x)$ は $p$ によらないので

S^{'} (p) = - \int_{0}^{L} \frac{\partial}{\partial p} [e^{p} {(p + 1) x - p^{2}}] d x

である。ここで

\frac{\partial}{\partial p} [e^{p} {(p + 1) x - p^{2}}] = e^{p} {(p + 1) x - p^{2} + x - 2 p} = e^{p} {(p + 2) x - p^{2} - 2 p}

だから

S^{'} (p) = - e^{p} \int_{0}^{L} {(p + 2) x - p^{2} - 2 p} d x = - e^{p} {\frac{p + 2}{2} L^{2} - (p^{2} + 2 p) L} = \frac{L}{2} e^{p} (p + 2) (2 p - L)

である。 $L > 0, p ≧ 0$ では $\frac{L}{2} e^{p} (p + 2) > 0$ なので， $S^{'} (p)$ の符号は $2 p - L$ の符号と同じである。したがって $S (p)$ は $0 ≦ p < \frac{L}{2}$ で減少し， $p > \frac{L}{2}$ で増加する。よって最小値を与える $p$ は $p = \frac{L}{2}$ である。

九州大学 2007年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2007年度
理系数学第1問