九州大学 2007年度理系数学第4問解答・解説

問題

さいころを3回続けて投げて出た目を順に $a$ ， $b$ ， $c$ とする．これらの数 $a$ ， $b$ ， $c$ に対して2次方程式

(＊) $a x^{2} + b x + c = 0$

を考える．ただし，さいころはどの目も同様に確からしく出るものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1) 2次方程式(＊)が異なる二つの実数の解を持つとき，積 $a c$ の取りうる値を求め，積 $a c$ の各値ごとに可能な $a$ と $c$ の組 $(a, c)$ がそれぞれ何通りあるかを求めよ．

(2) 2次方程式(＊)が異なる二つの有理数の解をもつ確率を求めよ．ただし，一般に自然数 $n$ が自然数の2乗でなければ $n$ は無理数であることを用いてよい．

出典：九州大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

異なる2実根の条件は判別式 $D = b^{2} - 4 a c > 0$ である。さいころでは $1 ≦ b ≦ 6$ なので，まず $4 a c < b^{2} ≦ 36$ から $a c < 9$ と絞り，実際に作れる $a c$ と順序付きの $(a, c)$ の個数を表にする。(2)で有理数解をもつには，解の公式の平方根 $D$ が有理数であればよい。 $D$ は自然数なので，正の平方数である場合だけを， $a c$ ごとに $b = 1, \dots, 6$ で調べる。

解答

(1)

方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が異なる2つの実数解をもつ条件は，判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ が正であることである。さいころの目より $1 ≦ b ≦ 6$ なので， $D > 0$ となるには $4 a c < b^{2} ≦ 36$ が必要である。したがって $a c < 9$ である。 $a, c$ はともに1から6までの整数なので， $a c < 9$ で実際に作れる値と，順序付きの組 $(a, c)$ の個数は

a c (a, c) の組数 11223243526482

である。例えば $a c = 4$ では $(1, 4), (2, 2), (4, 1)$ の3通りである。

また，これらの各値では実際に $b$ を十分大きく選べば $b^{2} > 4 a c$ となる。よって，積 $a c$ の取りうる値と組数は上の表の通りである。

(2)

解の公式より，解は $\frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ である。 $a, b, c$ は整数なので，異なる2つの有理数解をもつためには，判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ が正の平方数であればよい。問題文の注意より，正の平方数でない自然数の平方根は無理数である。

(1)で得た $a c$ の候補ごとに， $1 ≦ b ≦ 6$ で $D$ が正の平方数になる場合を調べる。

a c 1234568 D = b^{2} - 4 a c が正の平方数となる b なし 345656 (a, b, c) の個数 0223242

である。たとえば $a c = 6$ では $b = 5$ のとき $D = 25 - 24 = 1$ となり， $(a, c)$ は $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ の4通りである。

したがって有利な場合の数は $0 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 = 15$ である。全事象は $6^{3} = 216$ 通りなので，求める確率は $\frac{15}{216} = \frac{5}{72}$ である。

九州大学 2007年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2007年度
理系数学第4問