九州大学 2007年度理系数学第2問解答・解説

問題

$p$ を $0 < p < 1$ を満たす数とし，行列 $A$ ， $B$ ， $C$ をそれぞれ

A = (1 - 1 1 - 1), B = (10 1 1 + p), C = (0 - 1 - p - 1 0)

とおく．さらに，行列 $A_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を $A_{1} = A$ ， $A_{n + 1} = A_{n} B - B A_{n} + C$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1) $A_{2}$ ， $A_{3}$ を求めよ．

(2) $A_{n} = (a_{n} c_{n} b_{n} d_{n})$ ， $Δ_{n} = a_{n} d_{n} - b_{n} c_{n}$ とおくとき， $n \to \infty lim Δ_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は定義通りに $A_{2} = A_{1} B - B A_{1} + C$ ， $A_{3} = A_{2} B - B A_{2} + C$ を計算する。(2)は(1)から，左上・左下・右下は一定で，右上だけが $1 + p + \dots + p^{n - 1}$ になる形を予想し，帰納法で示す。 $A_{n}$ の形が決まれば， $Δ_{n} = a_{n} d_{n} - b_{n} c_{n}$ は右上成分から1を引いた等比和になり， $0 < p < 1$ で極限をとる。

解答

(1)

まず $A_{2} = A B - B A + C$ を計算する。

A B = (1 - 1 2 + p - 2 - p), B A = (0 - 1 - p 0 - 1 - p)

であるから

A_{2} = (1 - 1 2 + p - 2 - p) - (0 - 1 - p 0 - 1 - p) + (0 - 1 - p - 1 0) = (1 - 1 1 + p - 1)

である。

次に $A_{3} = A_{2} B - B A_{2} + C$ である。

A_{2} B = (1 - 1 1 + (1 + p)^{2} - 2 - p), B A_{2} = (0 - 1 - p p - 1 - p)

なので

A_{3} = (1 - 1 1 + p + p^{2} - 1)

である。

(2)

(1)から

A_{n} = (1 - 1 S_{n} - 1), S_{n} = 1 + p + p^{2} + \dots + p^{n - 1}

と予想できる。 $n = 1$ では $S_{1} = 1$ であり，これは $A_{1} = A$ と一致する。

いま

A_{n} = (1 - 1 S_{n} - 1)

と仮定する。このとき

A_{n} B = (1 - 1 1 + (1 + p) S_{n} - 2 - p)

であり，

B A_{n} = (0 - 1 - p S_{n} - 1 - (1 + p) S_{n})

である。したがって

A_{n + 1} = A_{n} B - B A_{n} + C = (1 - 1 1 + (1 + p) S_{n} - (S_{n} - 1) - 1 - 2 - p + (1 + p) S_{n}) + (0000)

と整理される。右上成分は $1 + p S_{n} = 1 + p (1 + p + \dots + p^{n - 1}) = 1 + p + \dots + p^{n}$ であり，右下成分も $- 2 - p + (1 + p) S_{n} = - 1$ となる。よって

A_{n + 1} = (1 - 1 1 + p + \dots + p^{n} - 1)

である。帰納法により，すべての $n$ で

A_{n} = (1 - 1 1 + p + \dots + p^{n - 1} - 1)

が成り立つ。

したがって

Δ_{n} = a_{n} d_{n} - b_{n} c_{n} = 1 \cdot (- 1) - (1 + p + \dots + p^{n - 1}) (- 1) = p + p^{2} + \dots + p^{n - 1}

である。 $0 < p < 1$ より

n \to \infty lim Δ_{n} = n \to \infty lim (p + p^{2} + \dots + p^{n - 1}) = \frac{p}{1 - p}

である。

九州大学 2007年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2007年度
理系数学第2問