問題
三角形において，辺の長さを，辺の長さを，辺の長さをとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1) ，とする．が4から7までの値をとるとき，三角形の面積の最大値と最小値を求めよ．
(2) ，，がいずれも4から7までの値をとるとき，三角形の面積の最大値と最小値を求めよ．
方針
(1)は二等辺三角形として，底辺を ，等辺を4とした高さを求め，面積の二乗を の二次式として最大最小を調べる。(2)はヘロンの公式の二乗形 を用いる。最小は，各変数について固定したとき面積二乗が端点で小さくなることから頂点 の組だけを調べる。最大は と置き， の値との差が非負になることを示す。
解答
(1)
なので，底辺を とする二等辺三角形である。底辺の中点から頂点へ下ろした高さを とすると である。したがって面積 は である。
面積は正なので， を調べればよい。 である。 とおくと， より であり， である。この二次式は で最大となるので，最大は のときで， より である。
最小は区間の端点で比較すればよい。 であり，
だから である。
(2)
ヘロンの公式から，三角形の面積 について が成り立つ。
まず最小値を調べる。 を固定すると である。これは について上に凸でなく，下に開く二次式である。したがって での最小値は端点 または で起こる。同じ議論を にも行えるので，最小値は の型を調べればよい。
それぞれの面積は
である。よって最小値は であり，これは3辺が のときに得られる。
次に最大値を調べる。 とおくと， であり， である。 とおくと， である。3辺がすべて7のときの は である。差を計算すると
である。ここで とすると， であり， より である。したがって上の差は 以上である。 なのでこれは0以上である。よって面積は3辺がすべて7のとき最大である。
したがって最大値は，正三角形の面積より である。