問題
4点，，，を頂点とする四面体において，頂点から辺に下ろした垂線と辺との交点を，頂点から三角形を含む面に下ろした垂線とその面との交点をとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1) 線分の長さを求めよ．
(2) 三角形の面積を求めよ．
(3) 点の座標を求めよ．
(4) 四面体の体積を求めよ．
出典：九州大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
(1)は辺 上の点を と置き， を内積0で表して を求める。(2)は を内積で確認すれば，三角形 の面積は直角三角形として出せる。(3)は平面 の方程式を が満たす形で求め，法線方向に から下ろした足を計算する。(4)は底面積 と高さ から四面体の体積を出す。
解答
(1)
である。辺 上の点を とおく。 より である。したがって である。整理すると より である。よって であり，
である。
(2)
である。内積は
なので， である。また
である。したがって
である。
(3)
平面 は原点を通るので，方程式を とおく。点 ， を代入すると である。これを解くと とできるので，平面は である。
この平面の法線方向は である。したがって から下ろした垂線上の点を とおく。この点が平面上にあるとき だから である。よって である。
(4)
高さは
である。したがって四面体 の体積は
である。