問題
平面上の点の移動（1次変換）に関する以下の問いに答えよ．
(1) 直線に関する対称移動を表す行列を求めよ．
(2) 点を原点を中心として正の向き（反時計回り）に60度回転し，さらに直線に関して対称移動したときの点をとする．点をに移す移動を表す行列を求めよ．
(3) 点に対してで表される移動を3回行った点をとする．点の座標を求めよ．
(4) で表される移動により点が点に移動したとする．点の座標を求めよ．
出典：九州大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1)は直線 に関する反射が であることから行列を作る。(2)は先に60度回転，その後に反射なので，行列の積の順序は「反射行列 回転行列」である。(3)(4)は を確認し，3回作用は1回作用と同じ，逆変換も 自身であることを使う。別解として，回転と反射の合成は反射になり，2回で元に戻ることを幾何的に見てもよい。
解答
(1)
直線 に関する対称移動では，点 は に移る。したがって，この移動を表す行列 は
である。
(2)
原点中心に正の向きに60度回転する行列を とすると
である。問題の移動は，まず を行い，次に を行うので，求める行列は である。よって
である。
(3)
まず
である。したがって3回行った結果は と同じである。 より
である。よって である。
(4)
なので， の逆変換は 自身である。したがって
を満たす点 は
である。計算すると
である。よって
である。
別解。幾何的に見ると，原点中心の回転のあとに原点を通る直線について反射する合成変換は，やはり原点を通るある直線についての反射である。したがって2回続けると恒等変換になる。このことから が予想でき，(3)(4)では行列を何度も掛けずに，3回作用は1回作用と同じ，逆向きに戻す操作も同じ であると分かる。