問題
関数
について，以下の問いに答えよ．
(1) のとき，不等式が成り立つことを証明せよ．
(2) とを証明せよ．
(3) を実数の定数とするとき，についての方程式の異なる実数解の個数を求めよ．
(4) の値を求めよ．
出典：九州大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
(1)は を置き，2回微分して で増加性を積み上げる。(2)は(1)から を得て発散を示し， と置いて を に変換する。(3)は の ，， の を別々に増減表として考え，境界値 で個数が変わることを整理する。(4)は で であることから絶対値を外し，部分積分で求める。
解答
(1)
とおく。すると であり， である。 では だから である。したがって は で増加し， より である。さらに も で増加し， だから である。よって が成り立つ。
(2)
(1)より， では である。したがって であり，右辺は で に発散する。よって である。
次に とおくと， は に対応する。このとき である。上で示した より なので である。
(3)
まず の部分を考える。 とすると であるから， で最小となり，その最小値は である。また で ， で0， では正で増加して に向かう。
次に の部分を考える。 とおくと である。 では であり，これは で最大値 をとり，両端 ， で0になる。 では であり，0から へ増加する。
さらに では である。以上を合わせると，方程式 の異なる実数解の個数は
である。
(4)
では なので である。したがって である。
部分積分を行うと
である。ここで(2)と同様に であり，さらに である。よって となる。したがって である。